Question

已知階矩陣A=

1 2 2 1

，向量β=

2 2

（1）求階矩陣A的特征值和特征向量；
（2）計(jì)算A²β

Answer 1

考點(diǎn)：特征向量的定義,矩陣特征值的定義

專題：選作題,矩陣和變換

分析：（1）利用特征多項(xiàng)式，求特征值，進(jìn)而可求特征向量；
（2）令β=m

α1

+n

α2

，則可得m=2，n=0，即可求出結(jié)論．

解答： 解：（1）矩陣A的特征多項(xiàng)式為f（λ）=（λ-3）（λ+1）
令f（λ）=0 解得A的特征值λ₁=3，λ₂=-1 …（6分）
當(dāng)λ₁=3 時(shí)，代入二元一次方程組

(λ-1)x-2y=0 -2x+(λ-1)y=0

解得

x=1 y=1

，
∴特征值λ₁=3 時(shí)的一個(gè)特征向量為

α1

=

1 1

；…（8分
當(dāng)λ₂=-1時(shí)，同理可得特征值λ₂=-1 時(shí)的一個(gè)特征向量為

α2

=

1 -1

…（10分）
（2）由（1）知

α1

=

1 1

，

α2

=

1 -1

令β=m

α1

+n

α2

，則可得m=2，n=0 …（14分）
∴A2β=A2(2α1-0α2)=2(A2α1)=2×3²

α1

=

18 18

…（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查特征值與特征向量，解題的關(guān)鍵是確定特征多項(xiàng)式，屬于基礎(chǔ)題．