Question

已知圓O：x²+y²=4和圓C：x²+（y-4）²=1．
（Ⅰ）判斷圓O和圓C的位置關系；
（Ⅱ）過圓C的圓心C作圓O的切線l，求切線l的方程；
（Ⅲ）過圓C的圓心C作動直線m交圓O于A，B兩點．試問：在以AB為直徑的所有圓中，是否存在這樣的圓P，使得圓P經(jīng)過點M（2，0）？若存在，求出圓P的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：圓與圓的位置關系及其判定,直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：直線與圓

分析：（Ⅰ）求出兩圓的半徑和圓心距，由此能判斷兩圓的位置關系．
（Ⅱ）設切線l的方程為：y=kx+4，由圓心O到直線l的距離等于半徑，能求出切線l的方程．
（Ⅲ）當直線m的斜率不存在時，直線m經(jīng)過圓O的圓心O，由此得到圓O是滿足題意的圓；當直線m的斜率存在時，設直線m：y=kx+4，由

x2+y2=4 y=kx+4

，消去y整理，得（1+k²）x²+8kx+12=0，由此求出存在以AB為直徑的圓P滿足題意．從而能求出在以AB為直徑的所有圓中，存在圓P：5x²+5y²-16x-8y+12=0或x²+y²=4，使得圓P經(jīng)過點M（2，0）．

解答： 解：（Ⅰ）因為圓O的圓心O（0，0），半徑r₁=2，圓C的圓心C（0，4），半徑r₂=1，
所以圓O和圓C的圓心距|OC|=|4-0|＞r₁+r₂=3，
所以圓O與圓C相離．…（3分）
（Ⅱ）設切線l的方程為：y=kx+4，即kx-y+4=0，
所以O到l的距離d=

|0+0+4|

k2+1

=2，解得k=±

3

．
所以切線l的方程為

3

x-y+4=0或

3

x+y-4=0…（7分）
（Ⅲ）�。┊斨本�m的斜率不存在時，直線m經(jīng)過圓O的圓心O，
此時直線m與圓O的交點為A（0，2），B（0，-2），
AB即為圓O的直徑，而點M（2，0）在圓O上，
即圓O也是滿足題意的圓…（8分）
ⅱ）當直線m的斜率存在時，設直線m：y=kx+4，
由

x2+y2=4 y=kx+4

，消去y整理，得（1+k²）x²+8kx+12=0，
由△=64k²-48（1+k²）＞0，得k＞

3

或k＜-

3

．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則有

x1+x2=- 8k 1+k2 x1x2= 12 1+k2

…①…（9分）
由①得y1y2=(kx1+4)(kx2+4)=k2x1x2+4k(x1+x2)+16=

16-4k2

1+k2

，…②y1+y2=kx1+4+kx2+4=k(x1+x2)+8=

8

1+k2

，…③
若存在以AB為直徑的圓P經(jīng)過點M（2，0），則MA⊥MB，所以

MA

•

MB

=0，
因此（x₁-2）（x₂-2）+y₁y₂=0，
即x₁x₂-2（x₁+x₂）+4+y₁y₂=0，…（10分）
則

12

1+k2

+

16k

1+k2

+4+

16-4k2

1+k2

=0，所以16k+32=0，k=-2，滿足題意．
此時以AB為直徑的圓的方程為x²+y²-（x₁+x₂）x-（y₁+y₂）y+x₁x₂+y₁y₂=0，
即x2+y2-

16

5

x-

8

5

y+

12

5

=0，亦即5x²+5y²-16x-8y+12=0．…（12分）
綜上，在以AB為直徑的所有圓中，
存在圓P：5x²+5y²-16x-8y+12=0或x²+y²=4，使得圓P經(jīng)過點M（2，0）…（14分）

點評：本題考查兩圓位置關系的判斷，考查圓的切線方程的求法，考查滿足條件的圓是否存在的判斷與求法，解題時要認真審題，注意兩點間距離公式的合理運用．