Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，，側(cè)面為正三角形，側(cè)面底面，、分別為棱、的中點(diǎn).

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求證：平面平面；

（Ⅲ）在棱上是否存在一點(diǎn)，使得平面？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析（3）

【解析】分析：（Ⅰ）取的中點(diǎn)，連接、，可得，，從而得平面平面，因?yàn)?/span>平面，所以平面；（Ⅱ）由等腰三角形的性質(zhì)，，因?yàn)?/span>，所以，由線面垂直的判定定理可得平面.

由面面垂直的判定定理可得結(jié)論；（Ⅲ）設(shè)與的交點(diǎn)為，過點(diǎn)作平面.如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，所以，由，從而可得結(jié)果.

詳解：(Ⅰ）法1：取的中點(diǎn)，連接、.則

，.

又因?yàn)?/span>、平面，，

、平面，，

所以，平面平面，

因?yàn)?/span>平面，

所以平面.

法2：取的中點(diǎn)，連接、，

因?yàn)?/span>，，

所以，

所以四邊形為平行四邊形，

所以.

又因?yàn)?/span>平面，平面，

所以平面.

（Ⅱ）法1：

因?yàn)?/span>，為棱的中點(diǎn)，

所以，

因?yàn)?/span>，為棱的中點(diǎn)，

所以，

由（Ⅰ）法2知，，

所以，

又因?yàn)?/span>，、平面，

所以平面.

又因?yàn)?/span>平面，

所以，平面平面.

法2：

設(shè)與的交點(diǎn)為，過點(diǎn)作平面.如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則

，，，，

，，，

設(shè)平面的法向量為，則，

所以，

令，則，，所以；

設(shè)平面的法向量為，則，

所以，

令，則，，所以；

因?yàn)?/span>，

所以平面平面.

法3：

由法1知，

由法2知，所以，

，

所以，

又平面，，

所以平面，

又平面，

所以平面平面.

（Ⅲ）在棱上存在一點(diǎn)，使得平面，.

理由如下：

假設(shè)存在這樣的點(diǎn)，設(shè)，，

所以

.

由，

解得.

當(dāng)時(shí)，，又，，

所以平面.

所以在棱上存在一點(diǎn)，使得平面，.