【題目】已知?jiǎng)狱c(diǎn)P(x,y)與一定點(diǎn)F(1,0)的距離和它到一定直線l:x=4的距離之比為 .
(1)求動(dòng)點(diǎn)P(x,y)的軌跡C的方程;
(2)己知直線l':x=my+1交軌跡C于A、B兩點(diǎn),過(guò)點(diǎn)A、B分別作直線l的垂線,垂足依次為點(diǎn)D、E.連接AE、BD,試探索當(dāng)m變化時(shí),直線AE、BD是否相交于一定點(diǎn)N?若交于定點(diǎn)N,請(qǐng)求出定點(diǎn)的坐標(biāo),并給予證明;否則說(shuō)明理由.
【答案】
(1)解:由題意得 = ,
即2 =丨x﹣4丨,
兩邊平方得:4x2﹣8x+4+4y2=x2﹣8x+16.整理得: .
∴動(dòng)點(diǎn)P(x,y)的軌跡C的方程為橢圓
(2)解:當(dāng)m變化時(shí),直線AE、BD相交于一定點(diǎn)N( ,0).
證明:如圖,
當(dāng)m=0時(shí),聯(lián)立直線x=1與橢圓 ,
得A(1, )、B(1,﹣ )、D(4, )、E(4,﹣ ),
過(guò)A、B作直線x=4的垂線,得兩垂足D(4, )、E(4,﹣ ),
由直線方程的兩點(diǎn)式得:直線AE的方程為:2x+2y﹣5=0,直線BD的方程為:2x﹣2y﹣5=0,
方程聯(lián)立解得x= ,y=0,
直線AE、BD相交于一點(diǎn)( ,0).
假設(shè)直線AE、BD相交于一定點(diǎn)N( ,0).
證明:設(shè)A(my1+1,y1),B(my2+1,y2),則D(4,y1),E(4,y2),
由 ,消去x,并整理得(3m2+4)y2+6my﹣9=0,
△=36m2﹣4×(3m2+4)×(﹣9)=144m2+144>0>0,
由韋達(dá)定理得y1+y2=﹣ ,y1y2=﹣ .
由 =(my1﹣ ,y1), =( ,y2),
則(my1﹣ )y2﹣ y1=my1y2﹣ (y1+y2)=m×(﹣ )﹣ ×(﹣ )=0
所以, ∥ ,所以A、N、E三點(diǎn)共線,
同理可證B、N、D三點(diǎn)共線,所以直線AE、BD相交于一定點(diǎn)N( ,0)
【解析】(1)直接利用求軌跡方程的步驟,由題意列出滿足動(dòng)點(diǎn)P(x,y)到定點(diǎn)F(1,0)的距離和它到一定直線l:x=4的距離之比為 的等式,整理后即可得到點(diǎn)P的軌跡;(2)如果存在滿足條件的定點(diǎn)N,則該點(diǎn)對(duì)于m=0的直線也成立,所以先取m=0,與橢圓聯(lián)立后解出A、B的坐標(biāo),同時(shí)求出D、E的坐標(biāo),由兩點(diǎn)式寫出AE、BD所在的直線方程,兩直線聯(lián)立求出N的坐標(biāo),然后證明該點(diǎn)對(duì)于m取其它值時(shí)也滿足直線AE、BD是相交于定點(diǎn)N,方法是用共線向量基本定理.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)橢圓的右頂點(diǎn)為A,上頂點(diǎn)為B.已知橢圓的離心率為,.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)直線與橢圓交于,兩點(diǎn),與直線交于點(diǎn)M,且點(diǎn)P,M均在第四象限.若的面積是面積的2倍,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)在區(qū)間上有最大值4 和最小值1,設(shè).
(1)求的值;
(2)若不等式在區(qū)間上有解,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)若有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,某大型水上樂(lè)園內(nèi)有一塊矩形場(chǎng)地米, 米,以為直徑的半圓和半圓(半圓在矩形內(nèi)部)為兩個(gè)半圓形水上主題樂(lè)園, 都建有圍墻,游客只能從線段處進(jìn)出該主題樂(lè)園.為了進(jìn)一步提高經(jīng)濟(jì)效益,水上樂(lè)園管理部門決定沿著修建不銹鋼護(hù)欄,沿著線段修建該主題樂(lè)園大門并設(shè)置檢票口,其中分別為上的動(dòng)點(diǎn), ,且線段與線段在圓心和連線的同側(cè).已知弧線部分的修建費(fèi)用為元/米,直線部門的平均修建費(fèi)用為元/米.
(1)若米,則檢票等候區(qū)域(其中陰影部分)面積為多少平方米?
(2)試確定點(diǎn)的位置,使得修建費(fèi)用最低.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】隨著網(wǎng)絡(luò)營(yíng)銷和電子商務(wù)的興起,人們的購(gòu)物方式更具多樣化,某調(diào)查機(jī)構(gòu)隨機(jī)抽取10名購(gòu)物者進(jìn)行采訪,5名男性購(gòu)物者中有3名傾向于選擇網(wǎng)購(gòu),2名傾向于選擇實(shí)體店,5名女性購(gòu)物者中有2名傾向于選擇網(wǎng)購(gòu),3名傾向于選擇實(shí)體店.
(1)若從10名購(gòu)物者中隨機(jī)抽取2名,其中男、女各一名,求至少1名傾向于選擇實(shí)體店的概率;
(2)若從這10名購(gòu)物者中隨機(jī)抽取3名,設(shè)X表示抽到傾向于選擇網(wǎng)購(gòu)的男性購(gòu)物者的人數(shù),求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=|x+ |+|x﹣2m|(m>0). (Ⅰ)求證:f(x)≥8恒成立;
(Ⅱ)求使得不等式f(1)>10成立的實(shí)數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知正△ABC三個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為2的球面上,球心O到平面ABC的距離為1,點(diǎn)E是線段AB的中點(diǎn),過(guò)點(diǎn)E作球O的截面,則截面面積的最小值是 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】參與舒城中學(xué)數(shù)學(xué)選修課的同學(xué)對(duì)某公司的一種產(chǎn)品銷量與價(jià)格進(jìn)行了統(tǒng)計(jì),得到如下數(shù)據(jù)和散點(diǎn)圖.
定價(jià)x(元/千克) | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 |
年銷量y(千克) | 1150 | 643 | 424 | 262 | 165 | 86 |
z=2 ln y | 14.1 | 12.9 | 12.1 | 11.1 | 10.2 | 8.9 |
參考數(shù)據(jù):
,
.
(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷y與x,z與x哪一對(duì)具有較強(qiáng)的線性相關(guān)性(給出判斷即可,不必說(shuō)明理由)?
(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及數(shù)據(jù),建立y關(guān)于x的回歸方程(方程中的系數(shù)均保留兩位有效數(shù)字).
(3)當(dāng)定價(jià)為150元/千克時(shí),試估計(jì)年銷量.
附:對(duì)于一組數(shù)據(jù)(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),…,(xn,yn),其回歸直線x+的斜率和截距的最
小二乘估計(jì)分別為
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓的兩焦點(diǎn)為,,離心率.
(1)求此橢圓的方程;
(2)設(shè)直線:,若與此橢圓相交于,兩點(diǎn),且等于橢圓的短軸長(zhǎng),求的值;
(3)以此橢圓的上頂點(diǎn)為直角頂點(diǎn)作橢圓的內(nèi)接等腰直角三角形,這樣的直角三角形是否存在?若存在,請(qǐng)說(shuō)明有幾個(gè);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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