Question

已知正數(shù)數(shù)列{a_n}中，a₁=1，前n項(xiàng)和為S_n，對任意n∈N^*，lgS_n、lgn、lg

1

an

成等差數(shù)列．
（1）求a_n和S_n；
（2）設(shè)bn=

Sn

n ！

，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，當(dāng)n≥2時(shí)，證明：S_n＜T_n＜2．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出Sn=ann2，從而得到

an

an-1

=

n-1

n+1

，利用累乘法求出an=

2

n(n+1)

=2(

1

n

-

1

n+1

)，再由裂項(xiàng)求和法能求出S_n．
（2）由（1）得到b_n=2[

1

n!

-

1

(n+1)!

]，用裂項(xiàng)求和法得到T_n=2[1-

1

(n+1)!

]＜2，由此能夠證明S_n＜T_n＜2．

解答： （本小題滿分14分）
（1）解：依題意：lgSn+lg

1

an

=2lgn，即

Sn

an

=n2，
∴Sn=ann2．
∴an+Sn-1=ann2①．
當(dāng)n≥2時(shí)，Sn-1=an-1(n-1)2②
②代入①并整理得：

an

an-1

=

n-1

n+1

∴

a2

a1

=

1

3

，

a3

a2

=

2

4

，

a4

a3

=

3

5

，

a5

a4

=

4

6

…

an-3

an-2

=

n-4

n-2

，

an-2

an-1

=

n-3

n-1

，

an-1

an-2

=

n-2

n

an

an-1

=

n-1

n+1

，
把以上n個(gè)式子相乘得：

an

a1

=

2

n(n+1)

，又∵a₁=1，
∴an=

2

n(n+1)

∵當(dāng)n=1時(shí)，a₁=1也滿足上式，∴an=

2

n(n+1)

，
∵an=

2

n(n+1)

=2(

1

n

-

1

n+1

)
∴S_n=2[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

4

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）]
=2(1-

1

n+1

)=

2n

n+1

．
（2）證明：∵bn=

Sn

n!

=

2n n+1

n!

=

2n

(n+1)n!

=2[

1

n!

-

1

(n+1)!

]，
∴Tn=2[

1

1!

-

1

2!

+

1

2!

-

1

3!

+

1

3!

-

1

4!

+…+

1

n!

-

1

(n+1)!

]=2[1-

1

(n+1)!

]
∵n≥2，∴

1

(n+1)!

＞0，∴Tn=2[1-

1

(n+1)!

]＜2
又Tn-Sn=2[1-

1

(n+1)!

]-

2n

n+1

=2[

(n+1)!-1

(n+1)!

-

n•n!

(n+1)!

]=

2

(n+1)!

[(n+1)!-1-n•n!]
=

2

(n+1)!

[(n+1)n!-1-n•n!]=

2

(n+1)!

(n!-1)＞0
∴S_n＜T_n＜2．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的求法，考查不等式的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．