Question

在數(shù)列{a_n}中a₁=0，且對任意k∈N^*，a_2k-1，a_2k，a_2k+1成等差數(shù)列，其公差為2k．
（1）求a_2k-1，a_2k，以及數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）記T_n=

22

a2

+

32

a3

+…+

n2

an

（n≥2），證明：T_n＜2n-

3

2

（n≥2）．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由已知條件知a_2k+1-a_2k-1=4k，由此利用累加法求出a_2k-1=2k（k-1），從而得到a_2k=a_2k-1+2k=2k（k-1）+2k=2k²，進(jìn)而能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（Ⅱ）當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，an=

n2-1

2

，

n2

an

=2+（

1

n-1

-

1

n+1

），當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，an=

n2

2

，

n2

an

=2，由此能證明T_n＜2n-

3

2

（n≥2）．

解答： 解：（Ⅰ）∵數(shù)列{a_n}中a₁=0，且對任意k∈N^*，a_2k-1，a_2k，a_2k+1成等差數(shù)列，其公差為2k，
∴a_2k+1-a_2k-1=4k對?k∈N^*恒成立，
∴a_2k-1=a₁+（a₃-a₁）+（a₅-a₃）+（a₇-a₅）+…+（a_2k-1-a_2k-3）
=0+4+8+12+…+4（k-1）
=

k(0+4k-4)

2

=2k（k-1）．
a_2k=a_2k-1+2k=2k（k-1）+2k=2k²．
∴an=

n2-1 2 ，n=2k-1 n2 2 ，n=2k

，k∈N*．
（Ⅱ）由上述結(jié)果得當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，an=

n2-1

2

，
則

n2

an

=2+

2

n2-1

=2+（

1

n-1

-

1

n+1

），
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，an=

n2

2

，

n2

an

=2，
①當(dāng)n=2k+1，k∈N^*時(shí)，
T_n=2+2+

2

32-1

+2+2+

2

52-1

+2+2+

2

72-1

+…+2+

2

(2k+1)2-1

=2（n-1）+[（

1

2

-

1

4

）+（

1

4

-

1

6

）+…+（

1

2k

-

1

2k+2

）]
=2n-2+

1

2

-

1

2k+2

=2n-

3

2

-

1

2k+2

＜2n-

3

2

．
②當(dāng)n=2k，k∈N^*時(shí)，
T_n=2+2+

2

32-1

+2+2+

2

52-1

+2+2+

2

72-1

+…+2+2+

2

(2k-1)2-1

+2
=2（n-1）+[（

1

2

-

1

4

）+（

1

4

-

1

6

）+…+（

1

2k-2

-

1

2k

）]
=2n-2+（

1

2

-

1

2k

）
=2n-

3

2

-

1

2k

＜2n-

3

2

，
綜上，T_n＜2n-

3

2

（n≥2）．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查不等式的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意構(gòu)造法和分類討論思想的合理運(yùn)用．