Question

若函數(shù)y=cos2x+

3

sin2x+a在[0，

π

2

]上有兩個不同的零點，則實數(shù)a的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數(shù),函數(shù)零點的判定定理

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：由題意可得函數(shù)g（x）=

3

sin2x+cos2x 與直線y=-a在[0，

π

2

]上兩個交點，數(shù)形結(jié)合可得a的取值范圍．

解答： 解：由題意可得函數(shù)g（x）=

3

sin2x+cos2x=2sin（2x+

π

6

） 與直線y=-a在[0，

π

2

]上兩個交點．
由于x∈[0，

π

2

]，故2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，故g（x）∈[-1，2]．
令2x+

π

6

=t，則t∈[

π

6

，

7π

6

]，函數(shù)y=h（t）=2sint 與直線y=m在[

π

6

，

7π

6

]上有兩個交點，如圖：
要使的兩個函數(shù)圖形有兩個交點必須使得1≤-a＜2，
a∈（-2，-1]
故答案為：（-2，-1]．

點評：本題主要考查方程根的存在性及個數(shù)判斷，兩角和差的正弦公式，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想，屬于中檔題．