Question

已知a＞0，b＞0，且a²+b²=

9

2

，若a+b≤m恒成立，
（Ⅰ）求m的最小值；
（Ⅱ）若2|x-1|+|x|≥a+b對任意的a，b恒成立，求實數(shù)x的取值范圍．

Answer 1

考點：絕對值不等式

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）變形已知表達式，利用柯西不等式，求出a+b的最大值，即可求m的最小值；
（Ⅱ）通過2|x-1|+|x|≥a+b對任意的a，b恒成立，結(jié)合（Ⅰ）的結(jié)果，利用x的范圍分類討論，求出實數(shù)x的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）∵a＞0，b＞0，且a²+b²=

9

2

，
∴9=（a²+b²）（1²+1²）≥（a+b）²，
∴a+b≤3，（當(dāng)且僅當(dāng)

a

1

=

b

1

，即

a= 3 2 b= 3 2

時取等號）
又∵a+b≤m恒成立，∴m≥3．
故m的最小值為3．…（4分）
（II）要使2|x-1|+|x|≥a+b恒成立，須且只須2|x-1|+|x|≥3．
∴

x≤0 -2x+2-x≥3

或

0＜x≤1 -2x+2+x≥3

或

x＞1 2x-2+x≥3

∴x≤-

1

3

或x≥

5

3

．…（7分）

點評：本題考查絕對值不等式的解法，函數(shù)恒成立的應(yīng)用，考查計算能力．