Question

已知函數(shù)f（x）=|x-a|（a＞0），且不等式f（x）≥|x+1|的解集為{x|x≤

1

2

}．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)g（x）=f（x）+|2x+1|，若不等式|2m+3|+|m-3|≥|m|•g（x）對(duì)任意m∈R且m≠0恒成立，求x的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：絕對(duì)值不等式的解法

專題：選作題,不等式

分析：（1）不等式f（x）≥|x+1|的解集為{x|x≤

1

2

}，可得

1

2

是f（x）=|x+1|的解；
（2）由g（x）≤

|2m+3|+|m-3|

|m|

對(duì)任意m∈R且m≠0恒成立，可得g（x）≤3，解不等式：|x-2|+|2x+1|≤3，從而解得實(shí)數(shù)x的范圍．

解答： 解：（1）不等式f（x）≥|x+1|，可化為（x-a）²≥（x+1）²，
∵不等式f（x）≥|x+1|的解集為{x|x≤

1

2

}，
∴（

1

2

-a）²=（

1

2

+1）²，
∴a=2；
（2）不等式|2m+3|+|m-3|≥|m|•g（x）對(duì)任意m∈R且m≠0恒成立轉(zhuǎn)化為g（x）≤

|2m+3|+|m-3|

|m|

對(duì)任意m∈R且m≠0恒成立．
∵|2m+3|+|m-3|≥3|m|，
∴

|2m+3|+|m-3|

|m|

≥3，
∴g（x）≤3，
∴解不等式：|x-2|+|2x+1|≤3可得x∈[-

2

3

，0]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了絕對(duì)值不等式、帶絕對(duì)值的函數(shù)，不等式的解法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．