Question

在數(shù)列{a_n}和{b_n}中，已知a₁=2，a₂=6，a_n+2a_n=3a_n+1²（n∈N^*），b_n=

an+1

an

，
（1）求證：數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（3）若P_n=

1

log3 an+1 2

，S_n為數(shù)列{p_n}的前n項和，求S_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的性質(zhì),數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用等比數(shù)列的定義證明即可；
（2）利用累乘法求數(shù)列的通項公式；
（3）利用裂項相消法求數(shù)列的和即可．

解答： （1）證明：∵an+2an=3an+12（n∈N*）∴

bn+1

bn

=

an+2 an+1

an+1 an

=

an+2an

an+12

=

3an+12

an+12

=3
所以數(shù)列{b_n}是以3為公比的等比數(shù)列；…．（4分）
（2）解：由（1）可得到bn=b1qn-1=

a2

a1

qn-1=

6

2

×3n-1=3n
所以bn=

an+1

an

=3n
所以

a2 a1 =31 a3 a2 =32 a4 a3 =33 … an an-1 =3n-1 ∴ a2 a1 × a3 a2 × a4 a3 ×…× an an-1 =31×32×33×…×3n-1 ∴ an a1 =31+2+3+…+(n-1)=3 n2-n 2

又因為：∵a₁=2，∴an=a1×3

n2-n

2

=2×3

n2-n

2

…（8分）
（3）解：由（2）得：an=2×3

n2-n

2

所以pn=

1

log3 an+1 2

=

1

log33 (n+1)2-(n+1) 2

=

2

n2+n

=

2

n(n+1)

=

2

n

-

2

n+1

所以

Sn=p1+p2+p3+…+pn =( 2 1 - 2 2 )+( 2 2 - 2 3 )+( 2 3 - 2 4 )+…+( 2 n - 2 n+1 ) =2- 2 n+1 = 2n n+1

…（12分）

點評：本題主要考查等比數(shù)列的定義及性質(zhì)，考查利用累乘法求數(shù)列的通項公式及利用裂項相消法求數(shù)列和等知識，考查學(xué)生的運算求解能力，屬中檔題．