Question

某校從參加高一年級期末考試的學(xué)生中抽出60名學(xué)生，將其成績（均為整數(shù)）分成六段[40，50），[50，60），[90，100]后畫出如下部分頻率頒布直方圖，觀察圖形的信息，回答下列問題：
（Ⅰ）求第四小組的頻率，補全這個頻率分布直方圖，并估計這次考試的及格率（60分及以上為及格）；
（Ⅱ）若將頻率袖為概率，從這個學(xué)校的高一學(xué)生中抽取3個學(xué)生（看作有放回的抽樣），求其成績在80分至100分（包括80分）的學(xué)生數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,頻率分布直方圖

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（Ⅰ）利用頻率分布直方圖能求出第四組的頻率，由此能補齊直方圖，能求出抽樣學(xué)生成績的及格率．
（Ⅱ）由題間，知每抽一名學(xué)生，抽到80～100分學(xué)生的概率為0.3，且x～B（3，0，3），由此能求出X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：（Ⅰ）∵各組的頻率和等于1，
∴第四組的頻率f₄=1-（0.025+0.015×2+0.01+0.005）×10=0.3，
直方圖如右圖．
縱坐標(biāo)是0.03．
依題意，60分及以上的分?jǐn)?shù)所在的第三、四、五、六組，
頻率和為（0.015+0.03+0.025+0.005）×10=0.75，
∴抽樣學(xué)生成績的及格率是75%．
（Ⅱ）由題間，知每抽一名學(xué)生，抽到80～100分學(xué)生的概率o為0.3，且x～B（3，0，3），
∴P（X=0）=C

C

0 3

C

3 7

=0.343，
P（ξ=1）=

C

1 3

×0.3×0．72=0.441，
P（ξ=2）=

C

2 3

×0．32×0.7=0.189，
P（ξ=3）=

C

3 3

×0．33=0.027，
∴隨機變量X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	0.343	0.441	0.189	0.027

∴EX=3×0.3=0.9．

點評：本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，是中檔題，在歷年高考中都是必考題．