Question

設(shè)關(guān)于x的不等式x（x-a-1）＜0（a∈R）的解集為M，不等式x²-2x-3≤0的解集為N．
（1）當a=1時，求集合M；
（2）若M⊆N，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）把a=1代入x（x-a-1）＜0，直接求解一元二次不等式得集合M；
（2）求解一元二次不等式化簡集合N，然后分a＜-1、a=-1、a＞-1求解集合M，再由M⊆N結(jié)合集合端點值間的關(guān)系列不等式求解實數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（1）當a=1時，由x（x-a-1）＜0，
得x（x-2）＜0．解得0＜x＜2．
∴M={x|0＜x＜2}；
（2）解不等式x²-2x-3≤0，得：
N={x|-1≤x≤3}．
①當a＜-1時，
∵a+1＜0，
∴M={x|a+1＜x＜0}．
∵M⊆N，
∴-1≤a+1＜0，解得-2≤a＜-1．
②當a=-1時，M=∅，顯然有M⊆N，
∴a=-1成立．
③當a＞-1時，
∵a+1＞0，
∴M={x|0＜x＜a+1}．
又M⊆N，
∴0＜a+1≤3，解得-1＜a≤2．
綜上所述，a的取值范圍是[-2，2]．

點評：本題考查了函數(shù)恒成立問題，訓練了一元二次不等式的解法，考查了分類討論的數(shù)學思想方法，是中檔題．