Question

如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD垂直于AB和DC，側棱SA⊥底面ABCD，且SA=2，AD=DC=1．
（1）若點E在SD上，且AE⊥SD，證明：AE⊥平面SDC；
（2）若三棱錐S-ABC的體積V_S-ABC=

1

6

，求面SAD與面SBC所成二面角的正弦值大小．

Answer 1

考點：用空間向量求平面間的夾角,直線與平面垂直的判定,與二面角有關的立體幾何綜合題

專題：綜合題,空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）證明AE⊥平面SDC，只需證明AE⊥CD，利用證明CD⊥側面SAD可得；
（2）連結AC，利用三棱錐S-ABC的體積V_S-ABC=

1

6

，求出AB，再建立坐標系，求出平面SAD的一個法向量、平面SBC的一個法向量，利用向量的夾角公式，即可求面SAD與面SBC所成二面角的正弦值大小．

解答： （1）證明：∵側棱SA⊥底面ABCD，CD?底面ABCD，
∴SA⊥CD．…．（1分）
∵底面ABCD直角梯形，AD垂直于AB和DC，
∴AD⊥CD，
又AD∩SA=A，
∴CD⊥側面SAD，…．（3分）
∵AE?側面SAD
∴AE⊥CD，
∵AE⊥SD，CD∩SD=D，
∴AE⊥平面SDC；…．（5分）
（2）解：連結AC，
∵底面ABCD直角梯形，AD垂直于AB和DC，SA=2，AD=DC=1
∴AC=

2

，∠ACB=

π

4

，
設AB=t，則S△ABC=

2

4

AC•t=

t

2

，
∵三棱錐V=

1

6

=

2

3

•

t

2

，
∴t=AB=

1

2

．…．（7分）
如圖建系，則A（0，0，0），S（0，0，2），D（0，1，0），B（0.5，0，0），C（1，1，0），
由題意平面SAD的一個法向量為

m

=（1，0，0），
不妨設平面SBC的一個法向量為

n

=（x，y，z），則
∵

SB

=（0.5，0，-2），

SC

=（1，1，-2），
∴

x-4z=0 x+y-2z=0

，
不妨令z=1，則

n

=（（4，-2，1）…．（10分）
∴cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m || n |

=

4

21

，…．（11分）
設面SAD與面SBC所成二面角為θ，則sinθ=

105

21

…．（12分）

點評：本題考查線面垂直的判斷與性質，考查面面角，考查三棱錐體積的計算，考查向量法的運用，正確求出平面的法向量是關鍵．