Question

如圖，在四面體A-BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD=2，BD=2

2

．M是AD的中點(diǎn)．
（1）證明：平面ABC⊥平面ADC；
（2）若∠BDC=60°，求二面角C-BM-D的大�。�

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,平面與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）先證明BC⊥AD，結(jié)合BC⊥CD，AD∩CD=D，可得BC⊥平面ACD，利用面面垂直的判定定理，可得平面ABC⊥平面ADC；
（2）作CG⊥BD于點(diǎn)G，作GH⊥BM于點(diǎn)HG，連接CH，證明∠CHG為二面角的平面角，結(jié)合∠BDC=60°，即可求二面角C-BM-D的大�。�

解答： （1）證明：∵AD⊥平面BCD，BC?平面BCD，
∴BC⊥AD．
又∵BC⊥CD，AD∩CD=D，
∴BC⊥平面ACD，
又∵BC?平面ABC，
∴平面ABC⊥平面ADC；
（2）解：作CG⊥BD于點(diǎn)G，作GH⊥BM于點(diǎn)HG，連接CH．
∵AD⊥平面BCD，CG?平面BCD，
∴CG⊥AD
又∵CG⊥BD，AD∩BD=D，
∴CG⊥平面ABD，
又∵BM?平面ABD，∴BM⊥CG
又∵BM⊥GH，CG∩GH=G，
∴BM⊥平面CGH，
∵CH?平面CGH，
∴BM⊥CH
∴∠CHG為二面角的平面角．
在Rt△BCD中，CD=BDcos60°=

2

，CG=CDsin60°=

6

2

，BG=BCsin60°=

3 2

2

．
在Rt△BDM中，HG=

BG?DM

BM

=

2

2

在Rt△CHG中，tan∠CHG=

CG

HG

=

6 2

2 2

=

3

，
∴∠CHG=60°，即二面角C-BM-D的大小為60°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查面面垂直的判定，考查線面垂直，考查面面角，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．