Question

已知f(x)=

a

a2-1

(ax-a-x) (a＞0且a≠1)．
（Ⅰ）判斷f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）判斷f（x）的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；
（Ⅲ）當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，2f（x）-3b≥0恒成立，求b的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)奇偶性的判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義即可判斷f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義即可判斷f（x）的單調(diào)性；
（Ⅲ）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值即可得到結(jié)論．

解答： 解：（ I）函數(shù)定義域?yàn)镽，
∵f(x)=

a

a2-1

(ax-a-x) (a＞0且a≠1)．
∴f(-x)=

a

a2-1

(a-x-ax)=-f(x)，
∴f（x）為奇函數(shù)．
（ II）設(shè)x₁，x₂∈R且x₁＜x₂，
∴f(x1)-f(x2)=

a

a2-1

[(ax1-a-x1)-(ax2-a-x2)]=

a

a2-1

(ax1-ax2+a-x2-a-x1)=

a

a2-1

(ax1-ax2+

1

ax2

-

1

ax1

)
=

a

a2-1

(ax1-ax2+

ax1-ax2

ax1+x2

)=

a

(a+1)(a-1)

(ax1-ax2)(1+

1

ax1+x2

)，
當(dāng)a＞1時(shí)，

a

(a+1)(a-1)

＞0，ax1-ax2＜0，1+

1

ax1+x2

＞0，
∴f（x₁）＜f（x₂）
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，

a

(a+1)(a-1)

＜0，ax1-ax2＞0，1+

1

ax1+x2

＞0，
∴f（x₁）＜f（x₂）
∴當(dāng)a＞0，a≠1時(shí)，f（x）在定義域內(nèi)單調(diào)遞增．
（ III）由（ II）知，f（x）在R上是增函數(shù)，
∴在區(qū)間[-1，1]是增函數(shù)，
即fmin(x)=f(-1)=

a

a2-1

(a-1-a)=-1，
即要使2f（x）-3b≥0恒成立，

3

2

b≤f(x)，
只需

3

2

b≤-1，b≤-

2

3

，
∴b的取值范圍是(-∞，-

2

3

]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的應(yīng)用，根據(jù)定義是解決本題的根據(jù)，將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值是解決本題的關(guān)鍵．