Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，側(cè)棱長(zhǎng)為2，且側(cè)棱AA₁⊥底面ABC，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)
（1）求證：AD⊥C₁D；
（2）求直線(xiàn)AC與平面ADC₁所成角的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線(xiàn)與平面所成的角

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）由題設(shè)條件推導(dǎo)出AD⊥平面BCC₁B₁，由此能夠AD⊥C₁D．
（2）過(guò)點(diǎn)C作CO⊥C₁D，交C₁D于點(diǎn)O．連結(jié)AO，∠ACO是直線(xiàn)AC與平面ADC₁所成角，由此能求出AC與平面ADC₁所成角的余弦值．

解答： 解：（1）∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，
∴C₁C⊥平面ABC，
又∵AD?平面ABC，∴C₁C⊥AD，…（2分）
又點(diǎn)D是棱BC的中點(diǎn)，
且△ABC為正三角形，∴AD⊥BC，
∵BC∩C₁C=C，∴AD⊥平面BCC₁B₁，…（4分）
又∵DC₁?平面BCC₁B₁，∴AD⊥C₁D．…（6分）
（2）過(guò)點(diǎn)C作CO⊥C₁D，交C₁D于點(diǎn)O．連結(jié)AO，
∵AD⊥平面BCC₁B₁，CO?平面BCC₁B₁，
∴CO⊥平面ADC₁，…（8分）
∴∠ACO是直線(xiàn)AC與平面ADC₁所成角，…（9分）
又∵∠COD=∠DCC₁=90°，
∠ODC=∠ODC，
∴△ODC∽△DCC₁．…（10分）
∵底面ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，側(cè)棱長(zhǎng)為2，
且側(cè)棱AA₁⊥底面ABC，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)
∴DC=1，CC₁=2，DC₁=

1+4

=

5

，
∵

OC

CC1

=

DC

DC1

，
∴OC=

DC•CC1

DC1

=

1×2

5

=

2 5

5

．
∴cos∠ACO=

OC

AC

=

2 5 5

2

=

5

5

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直，直線(xiàn)與平面平行，考查空間想象能力，計(jì)算能力．