Question

如圖，點(diǎn)C為半圓的直徑AB延長線上一點(diǎn)，AB=BC=2，過動(dòng)點(diǎn)P作半圓的切線PQ，若PC=

3

PQ，則△PAC的面積的最大值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的切線的性質(zhì)定理的證明

專題：直線與圓

分析：以AB所在直線為x軸，以AB的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，利用兩點(diǎn)間距離公式推導(dǎo)出點(diǎn)P的軌跡方程是以（-

3

2

，0）為圓心，以

33

2

為半徑的圓，由此能求出△PAC的面積的最大值．

解答： 解：以AB所在直線為x軸，以AB的垂直平分線為y軸，
建立平面直角坐標(biāo)系，
∵AB=BC=2，∴C（3，0），
設(shè)P（x，y），
∵過動(dòng)點(diǎn)P作半圓的切線PQ，PC=

3

PQ，
∴

(x-3)2+y2

=

3

•

x2+y2-1

，
整理，得x²+y²+3x-6=0，
∴點(diǎn)P的軌跡方程是以（-

3

2

，0）為圓心，
以r=

1

2

9+24

=

33

2

為半徑的圓，
∴當(dāng)點(diǎn)P在直線x=-

3

2

上時(shí)，△PAC的面積的最大，
∴（S_△PAC）_max=

1

2

×4×

33

2

=

33

．
故答案為：

33

．

點(diǎn)評：本題考查三角形面積的最大值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意兩點(diǎn)間距離公式的合理運(yùn)用．