Question

某象棋比賽規(guī)則如下：兩名選手比賽時(shí)，每局勝者得1分，負(fù)者得0分，比賽進(jìn)行到有一人比對(duì)方多2分或打滿6局時(shí)結(jié)束．假設(shè)選手甲與選手乙比賽時(shí)，甲、乙每局獲勝的概率分別為

2

3

和

1

3

，且各局比賽勝負(fù)互不影響．
（1）求比賽進(jìn)行4局結(jié)束，且乙比甲多得2分的概率；
（2）設(shè)ξ表示比賽停止時(shí)已比賽的局?jǐn)?shù)，求隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差

專題：應(yīng)用題,概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）比賽進(jìn)行4局結(jié)束，且乙比甲多得2分，即頭兩局乙勝一局，3、4局連勝，利用相互獨(dú)立性概率公式，可得結(jié)論；
（2）隨機(jī)變量ξ可能的取值為2，4，6，求出相應(yīng)的概率，可得ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：（1）比賽進(jìn)行4局結(jié)束，且乙比甲多得2分，即頭兩局乙勝一局，3、4局連勝，
則所求概率為P=

C

1 2

•

1

3

•

2

3

•

1

3

•

1

3

=

4

81

；
（2）由題意，ξ的取值為2，4，6，則
P（ξ=2）=(

2

3

)2+(

1

3

)2=

5

9

，P（ξ=4）=

C

1 2

•

1

3

•

2

3

•(

2

3

)2+

C

1 2

•

1

3

•

2

3

•(

1

3

)2=

20

81

P（ξ=6）=(

C

1 2

•

1

3

•

2

3

)2=

16

81

，
∴ξ的分布列

ξ	2	4	6
P	5 9	20 81	16 81

數(shù)學(xué)期望Eξ=2×

5

9

+4×

20

81

+6×

16

81

=

266

81

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率知識(shí)，考查離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望，確定變量的取值，正確求概率是關(guān)鍵．