Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，∠ABC=60°，又PA⊥底面ABCD，AB=2PA，E為BC的中點(diǎn)．
（1）求證：AD⊥PE；
（2）求平面APE與平面PCD所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

專題：空間角

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出AE⊥BC．AE⊥AD，從而得到PA⊥AD，由此證明AD⊥平面PAE，從而得到AD⊥PE．
（2）分別以AE、AD、AP為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出平面APE與平面PCD所成銳二面角的余弦值．

解答： （1）證明：因?yàn)榈酌鍭BCD為菱形，∠ABC=60°，
且E為BC的中點(diǎn)，所以AE⊥BC．
又BC∥AD，所以AE⊥AD．
又PA⊥底面ABCD，所以PA⊥AD．
∴AD⊥平面PAE，∴AD⊥PE．（6分）
（2）解：分別以AE、AD、AP為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)AP=1，則P（0，0，1），E(

3

，0，0)，C(

3

，1，0)，D（0，2，0）．
平面APE的法向量為

n

=(0，1，0)，
設(shè)平面PCD的法向量為

m

=(1，y，z)，則
由

m • CD =- 3 +y=0 m • PD =2y-z=0

，
解得

m

=(1，

3

，2

3

)．
所以cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m |•| n |

=

3

4×1

=

3

4

．
故平面APE與平面PCD所成銳二面角的余弦值為

3

4

．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查異面直線垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．