【題目】如圖，在四棱柱中，點和分別為和的中點,側棱底面.

（1）求證：//平面；

（2）求二面角的正弦值

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）根據(jù)題意,以為坐標原點建立空間直角坐標系,寫出各個點的坐標,可通過證明與平面的法向量垂直,來證明//平面.

（2）根據(jù)（1）中建立的平面直角坐標系,分別求得平面的法向量與平面的法向量,即可求得兩個平面夾角的余弦值,結合同角三角函數(shù)關系式即可求得二面角的正弦值.

（1）證明：根據(jù)題意,以為坐標原點,為軸,為軸,為軸建立如下圖所示的空間直角坐標系:

點和分別為和的中點, ,

則,則

,則

所以

依題意可知為平面的一個法向量

而

所以

又因為直線平面

所以平面

（2）

設為平面的法向量,

則,即

不妨設,可得

設為平面的一個法向量,

則,又,得

不妨設,可得

因此有,

于是

所以二面角的正弦值為

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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知點與點都在橢圓上，且的左集點為，過點的直線交橢圓于，兩點.

（1）求的方程；

（2）若以為直徑的圓經(jīng)過點，求直線的方程.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】（1）設，求的值；

（2）已知cos（75°+α），且﹣180°＜α＜﹣90°，求cos（15°﹣α）的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】隨著“互聯(lián)網(wǎng)＋交通”模式的迅猛發(fā)展，“共享助力單車”在很多城市相繼出現(xiàn)．某“共享助力單車”運營公司為了解某地區(qū)用戶對該公司所提供的服務的滿意度，隨機調查了100名用戶，得到用戶的滿意度評分（滿分10分），現(xiàn)將評分分為5組，如下表：

組別

一

二

三

四

五

滿意度評分

[0，2）

[2，4）

[4，6）

[6，8）

[8，10]

頻數(shù)

5

10

a

32

16

頻率

0.05

b

0.37

c

0.16

(1)求表格中的a，b，c的值；

(2)估計用戶的滿意度評分的平均數(shù)；

(3)若從這100名用戶中隨機抽取25人，估計滿意度評分低于6分的人數(shù)為多少？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在直角坐標系xOy中，直線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，已知曲線的極坐標方程為，直線與曲線C交于兩點．

（1）求直線的普通方程和曲線C的直角坐標方程；

（2）求．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在正方形中，點是的中點，點是的中點，將分別沿折起，使兩點重合于，連接.

（1）求證：；

（2）點是上一點，若平面，則為何值？并說明理由.

（3）若，求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某企業(yè)有兩個分廠生產(chǎn)某種零件，按規(guī)定內徑尺寸（單位：mm）的值落在[29.94，30.06）的零件為優(yōu)質品.從兩個分廠生產(chǎn)的零件中各抽出了500件，量其內徑尺寸，得結果如下表：

甲廠：

分組

[29.86，29.90）

[29.90，29.94）

[29.94，29.98）

[29.98，30.02）

[30.02，30.06）

[30.06，30.10）

[30.10，30.14）

頻數(shù)

12

63

86

182

92

61

4

乙廠：

分組

[29.86，29.90）

[29.90，29.94）

[29.94，29.98）

[29.98，30.02）

[30.02，30.06）

[30.06，30.10）

[30.10，30.14）

頻數(shù)

29

71

85

159

76

62

18

（1）試分別估計兩個分廠生產(chǎn)的零件的優(yōu)質品率；

（2）由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填下面列聯(lián)表，并問是否有的把握認為“兩個分廠生產(chǎn)的零件的質量有差異”.

甲 廠

乙 廠

合計

優(yōu)質品

非優(yōu)質品

合計

附：

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)在與時都取得極值．

（1）求的值與函數(shù)的單調區(qū)間；

（2）若對,不等式恒成立，求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】為響應“生產(chǎn)發(fā)展、生活富裕、鄉(xiāng)風文明、村容整潔、管理民主”的社會主義新農(nóng)村建設，某自然村將村邊一塊廢棄的扇形荒地（如圖）租給蜂農(nóng)養(yǎng)蜂、產(chǎn)蜜與售蜜.已知扇形AOB中，，百米），荒地內規(guī)劃修建兩條直路AB，OC，其中點C在弧AB上（C與A，B不重合），在小路AB與OC的交點D處設立售蜜點，圖中陰影部分為蜂巢區(qū)，空白部分為蜂源植物生長區(qū).設，蜂巢區(qū)的面積為S（平方百米）.

（1）求S關于的函數(shù)關系式；

（2）當為何值時，蜂巢區(qū)的面積S最小，并求此時S的最小值.

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