【題目】如圖,在正方形中,點(diǎn)的中點(diǎn),點(diǎn)的中點(diǎn),將分別沿折起,使兩點(diǎn)重合于,連接.

1)求證:;

2)點(diǎn)上一點(diǎn),若平面,則為何值?并說明理由.

3)若,求二面角的余弦值.

【答案】(1)證明見詳解;(2),理由見詳解;(3.

【解析】

1)通過證明EF平面PBD,即可證明;

2)通過線面平行,將問題轉(zhuǎn)化為線線平行,在平面圖形中根據(jù)線段比例進(jìn)而求解;

3)根據(jù)(1)(2)所得,找到二面角的平面角,然后再進(jìn)行求解.

1)證明:因?yàn)樗倪呅?/span>ABCD為正方形,

DAAE,DC,即折疊后的DP

又因?yàn)?/span>平面PEF,平面PEF,

DP平面PEF,又平面PEF,故.

在正方形ABCD中,容易知EF,

平面PBD,平面PBD,

EF平面PBD,又平面PBD

,即證.

2)連接BDEFO,連接OM,作圖如下

因?yàn)?/span>//平面平面PBD,平面PBD平面=MO

//MO

中,由,以及E、F分別是正方形ABCD兩邊的中點(diǎn),

故可得即為所求.

3)過MMH垂直于BD,垂足為H,連接OP,作圖如下:

由(1)可知:EF平面PBD,因?yàn)?/span>MH平面PBD,故EF

,平面EDFBD平面EDF,故MH平面EDF

又因?yàn)?/span>BDEF,故即為所求二面角的平面角.

設(shè)正方形ABCD的邊長為4,因?yàn)?/span>,故PM=1,

故在中,PM=1,EP=2,根據(jù)勾股定理可得ME

同理:在中,PM=1,PF=2,根據(jù)勾股定理可得MF=

EF=

故在等腰三角形EMF中,因?yàn)?/span>OEF的中點(diǎn),故MO=.

由(1)可知,PD平面PEF,又OP平面PEF,故PDOP,

,故可得,

又在中,PE=PF=2,EF=2O為斜邊EF上的中點(diǎn),故OP=,

又因?yàn)?/span>MD=3,OD=

故可解得MH=

故在中,MH=1,MO=,由勾股定理可得OH=

.

故二面角的余弦值為.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】為了了解居民的用電情況,某地供電局抽查了該市若干戶居民月均用電量(單位:),并將樣本數(shù)據(jù)分組為,,,,,, ,其頻率分布直方圖如圖所示.

(1)若樣本中月均用電量在的居民有戶,求樣本容量;

(2)求月均用電量的中位數(shù);

(3)在月均用電量為,,,的四組居民中,用分層隨機(jī)抽樣法抽取戶居民,則月均用電量在的居民應(yīng)抽取多少戶?

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1)求樣本容量n和頻率分布直方圖中xy的值;

2)分?jǐn)?shù)在的學(xué)生中,男生有2人,現(xiàn)從該組抽取三人座談,求至少有兩名女生的概率.

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收看時間(單位:小時)

[0,1)

[1,2)

[2,3)

[3,4)

[4,5)

[5,6)

收看人數(shù)

14

30

16

28

20

12

(1)若將每天收看比賽轉(zhuǎn)播時間不低于3小時的教職工定義為“體育達(dá)人”,否則定義為“非體育達(dá)人”,請根據(jù)頻數(shù)分布表補(bǔ)全列聯(lián)表:

合計(jì)

體育達(dá)人

40

非體育達(dá)人

30

合計(jì)

并判斷能否有90%的把握認(rèn)為該校教職工是否為“體育達(dá)人”與“性別”有關(guān);

(2)在全!绑w育達(dá)人”中按性別分層抽樣抽取6名,再從這6名“體育達(dá)人”中選取2名作冬奧會知識講座.求抽取的這兩人恰好是一男一女的概率

附表及公式:

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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1)求證://平面;

2)求二面角的正弦值

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零件的個數(shù)

2

3

4

5

加工的時間小時

2.5

3

4

4.5

(1)在給定的坐標(biāo)系中畫出表中數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖;

(2)求出關(guān)于的線性回歸方程,并在坐標(biāo)系中畫出回歸直線

(3)試預(yù)測加工個零件需要多少時間?

參考公式:回歸直線,其中.

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)若△ABC的面積,求的大小.

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(1)求抽取的20人中,參加社區(qū)服務(wù)時間不少于90小時的學(xué)生人數(shù);

(2)從參加社區(qū)服務(wù)時間不少于90小時的學(xué)生中任意選取2人,求所選學(xué)生的參加社區(qū)服務(wù)時間在同一時間段內(nèi)的概率.

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A.①、②B.①、④C.②、③D.③、④

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