【題目】如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是正方形,側棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中點,作EF⊥PB交PB于點F.
(1)求證:PA∥平面EDB;
(2)求證:PB⊥平面EFD;
(3)求二面角C-PB-D的大小.
【答案】(1)詳見解析(2)詳見解析(3) 60°
【解析】
試題分析:(1)連接AC,AC交BD于O,連接EO要證明PA∥平面EDB,只需證明直線PA平行平面EDB內的直線EO;(2)要證明PB⊥平面EFD,只需證明PB垂直平面EFD內的兩條相交直線DE、EF,即可;(3)必須說明∠EFD是二面角C-PB-D的平面角,然后求二面角C-PB-D的大小
試題解析:(1)證明: 如圖所示,連接AC,AC交BD于O,連接EO.
∵底面ABCD是正方形,
∴點O是AC的中點.
在△PAC中,EO是中位線,
∴PA∥EO. ……2
而EO平面EDB且PA平面EDB,
∴PA∥平面EDB. ……4
(2)證明: ∵PD⊥底面ABCD,且DC底面ABCD,
∴PD⊥DC.
∵PD=DC,可知△PDC是等腰直角三角形.
而DE是斜邊PC的中線,∴DE⊥PC.① ……6
同樣,由PD⊥底面ABCD,BC平面ABCD,得PD⊥BC.
∵底面ABCD是正方形,有DC⊥BC,又PD∩CD=D,
∴BC⊥平面PDC.
而DE平面PDC,∴BC⊥DE.②
由①和②且PC∩BC=C可得DE⊥平面PBC.
而PB平面PBC,∴DE⊥PB.
又EF⊥PB且DE∩EF=E,
∴PB⊥平面EFD. ……8
(3)解 由(2)知,PB⊥DF.
故∠EFD是二面角C-PB-D的平面角. ……9
由(2)知DE⊥EF,PD⊥DB.
設正方形ABCD的邊長為a,
則PD=DC=a,BD=a,
PB=a,PC=a,DE=a,
在Rt△PDB中,DF=a.
在Rt△EFD中,sin∠EFD=,
∴∠EFD=60°. ……11
∴二面角C-PB-D的大小為60°. ……12
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】某單位每天的用電量(度)與當天最高氣溫(℃)之間具有線性相關關系,下表是該單位隨機統(tǒng)計4天的用電量與當天最高氣溫的數據.
最高氣溫(℃) | 26 | 29 | 31 | 34 |
用電量 (度) | 22 | 26 | 34 | 38 |
(Ⅰ)根據表中數據,求出回歸直線的方程(其中);
(Ⅱ)試預測某天最高氣溫為33℃時,該單位當天的用電量(精確到1度).
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知函數f(x)=sin-2·sin2x.
(1) 求函數f(x)的最小正周期;
(2) 求函數f(x)圖象的對稱軸方程、對稱中心的坐標;
(3) 當0≤x≤時,求函數f(x)的最大、最小值.
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【題目】某企業(yè)開發(fā)一種新產品,現準備投入適當的廣告費,對產品進行促銷,在一年內,預計年銷量Q(萬件)與廣告費x(萬件)之間的函數關系為,已知生產此產品的年固定投入為3萬元,每年產1萬件此產品仍需要投入32萬元,若年銷售額為,而當年產銷量相等。
(1)試將年利潤P(萬件)表示為年廣告費x(萬元)的函數;
(2)當年廣告費投入多少萬元時,企業(yè)年利潤最大?
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