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【題目】如圖,在四棱錐PABCD中,底面ABCD是正方形,側棱PD底面ABCD,PDDC,EPC的中點,作EFPBPB于點F.

1)求證:PA平面EDB

2)求證:PB平面EFD;

3)求二面角CPBD的大小.

【答案】1)詳見解析2)詳見解析3) 60°

【解析】

試題分析:(1)連接AC,AC交BD于O,連接EO要證明PA平面EDB,只需證明直線PA平行平面EDB內的直線EO;(2)要證明PB平面EFD,只需證明PB垂直平面EFD內的兩條相交直線DE、EF,即可;(3)必須說明EFD是二面角C-PB-D的平面角,然后求二面角C-PB-D的大小

試題解析:(1)證明: 如圖所示,連接AC,AC交BD于O,連接EO.

底面ABCD是正方形,

點O是AC的中點.

PAC中,EO是中位線,

PAEO. ……2

而EO平面EDB且PA平面EDB,

PA平面EDB. ……4

(2)證明: PD底面ABCD,且DC底面ABCD,

PDDC.

PD=DC,可知PDC是等腰直角三角形.

而DE是斜邊PC的中線,DEPC. ……6

同樣,由PD底面ABCD,BC平面ABCD,得PDBC.

底面ABCD是正方形,有DCBC,又PDCD=D,

BC平面PDC.

而DE平面PDC,BCDE.

且PCBC=C可得DE平面PBC.

而PB平面PBC,DEPB.

又EFPB且DEEF=E,

PB平面EFD. ……8

(3)解 由(2)知,PBDF.

EFD是二面角C-PB-D的平面角. ……9

由(2)知DEEF,PDDB.

設正方形ABCD的邊長為a,

則PD=DC=a,BD=a,

PB=a,PC=a,DE=a,

在RtPDB中,DF=a.

在RtEFD中,sinEFD=,

∴∠EFD=60°. ……11

二面角C-PB-D的大小為60°. ……12

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