Question

【題目】已知函數(shù)為常數(shù)）.

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性;

（2）當(dāng)時(shí)，設(shè)的兩個(gè)極值點(diǎn)恰為的零點(diǎn)，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間減區(qū)間為，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）

【解析】

試題分析：（1）先求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，討論導(dǎo)函數(shù)符號變化規(guī)律：當(dāng)時(shí)，導(dǎo)函數(shù)不變號，故的單調(diào)遞增區(qū)間為.當(dāng)時(shí)，導(dǎo)函數(shù)符號由正變負(fù)，即單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間減區(qū)間為，（2）先求導(dǎo)數(shù)得為方程的兩根，再求導(dǎo)數(shù)得，因此，而由為的零點(diǎn)，得,兩式相減得,即得，因此，從而，其中根據(jù)韋達(dá)定理確定自變量范圍：因?yàn)?/span>

又，所以

試題解析：（1），當(dāng)時(shí)，由解得,即當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增， 由解得,即當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí)，,即在上單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí)，故，即在上單調(diào)遞增,所以當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間減區(qū)間為，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為.

（2）,則,所以的兩根 即為方程的兩根. 因?yàn)?/span>,所以,又因?yàn)?/span>為的零點(diǎn)，所以,兩式相減得,得,而,

所以

令,由得

因?yàn)?/span>,兩邊同時(shí)除以，得，因?yàn)?/span>，故，解得或，所以，設(shè)，所以，則在上是減函數(shù)，所以，即的最小值為.