【題目】如圖,在四棱錐P-ABCD中,側(cè)面PAB⊥底面ABCD,底面ABCD為矩形,PA=PB,O為AB的中點(diǎn),OD⊥PC.
(Ⅰ) 求證:OC⊥PD;
(II)若PD與平面PAB所成的角為30°,求二面角D-PC-B的余弦值.
【答案】(I)詳見解析(II)
【解析】
(Ⅰ)連結(jié)OP,推導(dǎo)出OP⊥AB,從而OP⊥平面ABCD,由OP⊥OD,OP⊥OC,得OD⊥OC,再由OP⊥OC,能證明OC⊥PD.
(Ⅱ)取CD的中點(diǎn)E,以O為原點(diǎn),OE,OB,OP所在的直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz.求出平面DPC與平面BPC的法向量,由此能求出二面角D﹣PC﹣B的余弦值.
(I)證明 如圖,連接OP.
∵PA=PB,O為AB的中點(diǎn),
∴OP⊥AB.
∵側(cè)面PAB⊥底面ABCD,
∴OP⊥平面ABCD,
∴OP⊥OD,OP⊥OC.
∵OD⊥PC,∴OD⊥平面OPC,
∴OD⊥OC,
又OP⊥OC,OP∩OD=O,
∴OC⊥平面OPD,
∴OC⊥PD.
(II)解:法一 取CD的中點(diǎn)E,以O為原點(diǎn),OE,OB,OP所在的直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz.在矩形ABCD中,由(1)得OD⊥OC,∴AB=2AD,不妨設(shè)AD=1,則AB=2.
∵側(cè)面PAB⊥底面ABCD,底面ABCD為矩形,
∴DA⊥平面PAB,CB⊥平面PAB,△DPA≌△CPB,
∴∠DPA為直線PD與平面PAB所成的角,
∴∠DPA=30°,∠CPB=30°,PA=PB=,
∴B(0,1,0),C(1,1,0),D(1,-1,0),P(0,0,),從而=(1,1,-),=(0,-2,0).
設(shè)平面PCD的法向量為n1=(x1,y1,z1),
由得可取n1=(,0,1).
同理,可取平面PCB的一個(gè)法向量為n2=(0,-,-1).
于是cos〈n1,n2〉==-,
∴二面角D-PC-B的余弦值為-.
法二 在矩形ABCD中,由(1)得OD⊥OC,∴AB=2AD,不妨設(shè)AD=1,則AB=2.
∵側(cè)面PAB⊥底面ABCD,底面ABCD為矩形,
∴DA⊥平面PAB,CB⊥平面PAB,△DPA≌△CPB,
∴∠DPA為直線PD與平面PAB所成的角,
∴∠DPA=30°,∠CPB=30°,PA=PB=,
∴DP=CP=2,
∴△PDC為等邊三角形.
設(shè)PC的中點(diǎn)為M,連接DM,則DM⊥PC.
在Rt△CBP中,過M作NM⊥PC,交PB于點(diǎn)N,連接ND,則∠DMN為二面角D-PC-B的一個(gè)平面角.
由于∠CPB=30°,PM=1,故在Rt△PMN中,MN=,PN=.
∵cos∠APB==,
∴AN2=+3-2×××=3,
∴ND2=3+1=4,
∴cos∠DMN==-,
即二面角D-PC-B的余弦值為-.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,曲線是以原點(diǎn)O為中心、為焦點(diǎn)的橢圓的一部分,曲線是以O為頂點(diǎn)、為焦點(diǎn)的拋物線的一部分,A是曲線和的交點(diǎn)且為鈍角,若,.
(1)求曲線和的方程;
(2)過作一條與軸不垂直的直線,分別與曲線依次交于B、C、D、E四點(diǎn),若G為CD中點(diǎn)、H為BE中點(diǎn),問是否為定值?若是求出定值;若不是說明理由.
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【題目】如圖,在直三棱柱ABCA1B1C1中,D,E,F分別是B1C1,AB,AA1的中點(diǎn).
(1) 求證:EF∥平面A1BD;
(2) 若A1B1=A1C1,求證:平面A1BD⊥平面BB1C1C.
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【題目】設(shè)橢圓:的左右焦點(diǎn)分別為,,過點(diǎn)的直線與交于點(diǎn),. 若,且,則的離心率為( )
A. B. C. D.
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【題目】《九章算術(shù)》第三章“衰分”介紹了比例分配問題,“衰分”是按比例遞減分配的意思,通常稱遞減的比例為“衰分比”.如:已知三人分配獎(jiǎng)金的衰分比為,若分得獎(jiǎng)金1000元,則所分得獎(jiǎng)金分別為900元和810元.某科研所四位技術(shù)人員甲、乙、丙、丁攻關(guān)成功,共獲得獎(jiǎng)金59040元,若甲、乙、丙、丁按照一定的“衰分比”分配獎(jiǎng)金,且甲與丙共獲得獎(jiǎng)金32800元,則“衰分比”與丙所獲得的獎(jiǎng)金分別為( )
A.,12800元B.,12800元
C.,10240元D.,10240元
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【題目】年月某城市國(guó)際馬拉松賽正式舉行,組委會(huì)對(duì)名裁判人員進(jìn)(年齡均在歲到歲)行業(yè)務(wù)培訓(xùn),現(xiàn)按年齡(單位:歲)進(jìn)行分組統(tǒng)計(jì):第組,第組,第組,第組,第組,得到的頻率分布直方圖如下:
(1)若把這名裁判人員中年齡在稱為青年組,其中男裁判名;年齡在的稱為中年組,其中男裁判名.試完成列聯(lián)表并判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下認(rèn)為裁判員屬于不同的組別(青年組或中年組)與性別有關(guān)系?
(2)培訓(xùn)前組委會(huì)用分層抽樣調(diào)查方式在第組共抽取了名裁判人員進(jìn)行座談,若將其中抽取的第組的人員記作,第組的人員記作,第組的人員記作,若組委會(huì)決定從上述名裁判人員中再隨機(jī)選人參加新聞發(fā)布會(huì),要求這組各選人,試求裁判人員不同時(shí)被選擇的概率;
附:
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(1)求圓的普通方程與極坐標(biāo)方程;
(2)若直線的極坐標(biāo)方程為,求圓上的點(diǎn)到直線的最大距離.
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【題目】某農(nóng)場(chǎng)有一塊等腰直角三角形的空地,其中斜邊的長(zhǎng)度為400米.為迎接“五一”觀光游,欲在邊界上選擇一點(diǎn),修建觀賞小徑,其中分別在邊界上,小徑與邊界的夾角都為.區(qū)域和區(qū)域內(nèi)種植郁金香,區(qū)域內(nèi)種植月季花.
(1)探究:觀賞小徑與的長(zhǎng)度之和是否為定值?請(qǐng)說明理由;
(2)為深度體驗(yàn)觀賞,準(zhǔn)備在月季花區(qū)域內(nèi)修建小徑,當(dāng)點(diǎn)在何處時(shí),三條小徑的長(zhǎng)度和最小?
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