Question

【題目】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．

（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an；

（2）設(shè)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，滿足b1＝1，．

①求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式bn；

②若存在p，q，k∈N*，p＜q＜k，使得ambq，amanbp，anbk成等差數(shù)列，求m+n的最小值．

Answer 1

【答案】(1) an．(2) ①bn＝2n﹣1；②7

【解析】

（1）根據(jù)前n項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系，即可求出通項(xiàng)公式；

（2）①將代入遞推公式中，用裂項(xiàng)相消求出，再由前n項(xiàng)和求出通項(xiàng)；

②由等差數(shù)列的中項(xiàng)性質(zhì)，求出的不等量關(guān)系，結(jié)合基本不等式，即可得到最小值．

（1）∵數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．

∴當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1，

當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn﹣Sn﹣1，

當(dāng)時(shí)，a1，滿足上式，

∴an．

（2）①∵

=（）+（）+（）+…+（）

1．

∴1，

∴Tn+1＝2n+1﹣1，Tn＝2n﹣1，

把上面兩式相減得，bn+1＝2n，

∴時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，滿足上式，

②由ambq，amanbp，anbk成等差數(shù)列，

有2amanbp＝ambq+anbk，

即2，

由于p＜q＜k，且為正整數(shù)，所以q﹣p≥1，k﹣p≥2，

所以mn＝m+n≥2m+4n，

可得 mn≥2m+4n，1，

的最小值為12，

此時(shí)或或，

的最小值為12.