【題目】已知中,角所對(duì)的邊分別是,,且.
(1)求角;
(2),為所在平面內(nèi)一點(diǎn),且滿足,求的最小值,并求取得最小值時(shí)的面積.
【答案】(1).(2)的最小值為,的面積為.
【解析】
(1)由,變形可得,余弦定理可得,由正弦定理得:,進(jìn)一步化簡(jiǎn)可得,又由,利用同角三角函數(shù)關(guān)系化簡(jiǎn),,可求出角A;
(2)由(1)可知為直角三角形,又可得出點(diǎn)在以為直徑的圓上,設(shè)為中點(diǎn),連結(jié),則當(dāng)點(diǎn)在上時(shí),取得最小值,設(shè),則,,,,
又,即可得出的面積.
(1),
,
,
,
由正弦定理得:,
,
,
為三角形內(nèi)角,.
又由,
得,
,,
,.
(2)由(1)可知.
為直角三角形,
又,,
點(diǎn)在以為直徑的圓上,如圖,
,,,
設(shè)為中點(diǎn),連結(jié),
則當(dāng)點(diǎn)在上時(shí),取得最小值,
此時(shí),.
設(shè),則,
,,
,
在直角中,,
當(dāng)取得最小值時(shí),的面積為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=(k+)lnx+,k∈[4,+∞),曲線y=f(x)上總存在兩點(diǎn)M(x1,y1),N(x2,y2),使曲線y=f(x)在M,N兩點(diǎn)處的切線互相平行,則x1+x2的取值范圍為
A. (,+∞) B. (,+∞) C. [,+∞) D. [,+∞)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】給定橢圓,稱圓心在原點(diǎn),半徑為的圓是橢圓的“準(zhǔn)圓”.若橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為,其短軸上的一個(gè)端點(diǎn)到的距離為.
(1)求橢圓的方程和其“準(zhǔn)圓”方程;
(2)點(diǎn)是橢圓的“準(zhǔn)圓”上的動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作橢圓的切線交“準(zhǔn)圓”于點(diǎn).
①當(dāng)點(diǎn)為“準(zhǔn)圓”與軸正半軸的交點(diǎn)時(shí),求直線的方程并證明;
②求證:線段的長(zhǎng)為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓的左頂點(diǎn)為,右焦點(diǎn)為,直線與軸相交于點(diǎn),且是的中點(diǎn).
(Ⅰ)求橢圓的離心率;
(Ⅱ)過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn),都在軸上方,并且在之間,且到直線的距離是到直線距離的倍.
①記的面積分別為,求;
②若原點(diǎn)到直線的距離為,求橢圓方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某市為了了解該市教師年齡分布情況,對(duì)年齡在內(nèi)的5000名教師進(jìn)行了抽樣統(tǒng)計(jì),根據(jù)分層抽樣的結(jié)果,統(tǒng)計(jì)員制作了如下的統(tǒng)計(jì)表格:
年齡區(qū)間 | ||||
教師人數(shù) | 2000 | 1300 | ||
樣本人數(shù) | 130 |
由于不小心,表格中部分?jǐn)?shù)據(jù)被污染,看不清了,統(tǒng)計(jì)員只記得年齡在的樣本人數(shù)比年齡在的樣本人數(shù)多10,根據(jù)以上信息回答下列問(wèn)題:
(1)求該市年齡在的教師人數(shù);
(2)試根據(jù)上表做出該市教師按照年齡的人數(shù)頻率分布直方圖,并求該市教師年齡的平均數(shù)及方差(同一組的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】當(dāng)今時(shí)代,手機(jī)的功能越來(lái)越豐富,這給我們的生活帶來(lái)了很多的便利,然而過(guò)度玩手機(jī)已成為一個(gè)嚴(yán)重的社會(huì)問(wèn)題,特別是在校學(xué)生過(guò)度玩手機(jī),已嚴(yán)重影響了其身心發(fā)展和學(xué)業(yè)的進(jìn)步.某校為了解學(xué)生使用手機(jī)的情況,從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生,對(duì)他們每天使用手機(jī)的時(shí)間進(jìn)行了統(tǒng)計(jì),得到如下的統(tǒng)計(jì)表:
(1)以樣本估計(jì)總體,若在該校中任取一名學(xué)生,求該生使用手機(jī)時(shí)間不低于1小時(shí)的概率;
(2)對(duì)樣本中使用手機(jī)時(shí)間不低于1.5小時(shí)的學(xué)生,采用分層抽樣的方法抽取6人,再在這6人中隨機(jī)抽.取2人,求抽取的2人使用手機(jī)時(shí)間均低于2小時(shí)的概率;
(3)經(jīng)過(guò)進(jìn)一步統(tǒng)計(jì)分析發(fā)現(xiàn),使用手機(jī)時(shí)間低于1小時(shí)的學(xué)生中,有25人綜合素質(zhì)考核為“優(yōu)”,使用手機(jī)時(shí)間不低于1小時(shí)的學(xué)生中,有20人綜合素質(zhì)考核為“優(yōu)”,問(wèn):是否能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.1的前提下,認(rèn)為綜合素質(zhì)考核為“優(yōu)”與使用手機(jī)的時(shí)間有關(guān)?
附:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,四邊形是邊長(zhǎng)為2的正方形.平面,且.
(1)求證:平面平面.
(2)線段上是否存在一點(diǎn),使三棱錐的高若存在,請(qǐng)求出的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))
(1)求的單調(diào)區(qū)間;
(2)已知關(guān)于的方程有三個(gè)實(shí)根,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的極值;
(2)若不等式恒成立,求的最小值(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).
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