Question

【題目】給定橢圓，稱圓心在原點(diǎn)，半徑為的圓是橢圓的“準(zhǔn)圓”.若橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，其短軸上的一個(gè)端點(diǎn)到的距離為.

（1）求橢圓的方程和其“準(zhǔn)圓”方程；

（2）點(diǎn)是橢圓的“準(zhǔn)圓”上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作橢圓的切線交“準(zhǔn)圓”于點(diǎn).

①當(dāng)點(diǎn)為“準(zhǔn)圓”與軸正半軸的交點(diǎn)時(shí)，求直線的方程并證明；

②求證：線段的長(zhǎng)為定值.

Answer 1

【答案】（1）,,（2）（ⅰ），（ⅱ）詳見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：（1）根據(jù)題目條件可求出的值，進(jìn)而可得出橢圓的方程和其“準(zhǔn)圓”方程；（2）①根據(jù)條件先求出點(diǎn)的坐標(biāo)并設(shè)出直線的方程，再聯(lián)立橢圓的方程，并結(jié)合，即可求得方程并進(jìn)而證明；②根據(jù)前面的結(jié)論，并注意對(duì)直線的斜率進(jìn)行討論，證明線段總是準(zhǔn)圓的直徑，從而證得線段的長(zhǎng)為定值.

試題解析：（1），

橢圓方程為，

準(zhǔn)圓方程為．

（2）（ⅰ）因?yàn)闇?zhǔn)圓與軸正半軸的交點(diǎn)為，

設(shè)過(guò)點(diǎn)且與橢圓相切的直線為，

所以由得.

因?yàn)橹本�與橢圓相切，

所以，解得，

所以方程為．

， ．

（ⅱ）①當(dāng)直線中有一條斜率不存在時(shí)，不妨設(shè)直線斜率不存在，

則： ，

當(dāng)： 時(shí)，與準(zhǔn)圓交于點(diǎn)，

此時(shí)為（或），顯然直線垂直；

同理可證當(dāng)： 時(shí)，直線垂直

②當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)點(diǎn)，其中.

設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)與橢圓相切的直線為，

所以由

得.

由化簡(jiǎn)整理得，

因?yàn)?/span>，所以有.

設(shè)的斜率分別為，因?yàn)?/span>與橢圓相切，

所以滿足上述方程，

所以，即垂直．

綜合①②知：因?yàn)?/span>經(jīng)過(guò)點(diǎn)，又分別交其準(zhǔn)圓于點(diǎn)，且垂直.

所以線段為準(zhǔn)圓的直徑， ，

所以線段的長(zhǎng)為定值．