【題目】已知函數(shù),其中.是自然對數(shù)的底數(shù).
(1)若曲線在處的切線方程為.求實數(shù)的值;
(2)① 若時,函數(shù)既有極大值,又有極小值,求實數(shù)的取值范圍;
② 若,.若對一切正實數(shù)恒成立,求實數(shù)的最大值(用表示).
【答案】(1).(2)①②
【解析】
試題(1)由導數(shù)幾何意義得,又過過點(1,0),因此可列方程組,解得(2)①由題意得,導函數(shù)有兩個不同的零點,即有兩個不同的解,研究目標函數(shù) 得在區(qū)間上為減函數(shù),在區(qū)間上為增函數(shù),因此②先化簡不等式:,再分別求證,(當且僅當都在處取到等號),最后利用不等式性質得
試題解析: (1) 由題意知曲線過點(1,0),且;又因為,則有解得.
(2)①當時,函數(shù)的導函數(shù),若時,得,設 . 由 ,得,. 當時,,函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù),;當時,,函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù),;所以,當且僅當時,有兩個不同的解,設為, .
此時,函數(shù)既有極大值,又有極小值.
②由題意對一切正實數(shù)恒成立,取得.下證對一切正實數(shù)恒成立.首先,證明. 設函數(shù),則,當時,;當時,;得,即,當且僅當都在處取到等號. 再證. 設,則,當時,;當時,;得,即,當且僅當都在處取到等號. 由上可得,所以,即實數(shù)的最大值為.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在數(shù)列{an}中,已知,且2an+1=an+1(n∈N*).
(1)求證:數(shù)列{an-1}是等比數(shù)列;
(2)若bn=nan,求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.
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【題目】某校舉行漢字聽寫比賽,為了了解本次比賽成績情況,從得分不低于50分的試卷中隨機抽取100名學生的成績(得分均為整數(shù),滿分100分)進行統(tǒng)計,請根據頻率分布表中所提供的數(shù)據,解答下列問題:
(1)求的值;
(2)若從成績較好的第3、4、5組中按分層抽樣的方法抽取6人參加市漢字聽寫比賽,并從中選出2人做種子選手,求2人中至少有1人是第4組的概率.
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【題目】在一個長方體的容器中,里面裝有少量的水,現(xiàn)在將容器繞著其底部的一條棱傾斜.
(1)在傾斜的過程中,水面的形狀不斷變化,可能是矩形,也可能變成不是矩形的平行四邊形,對嗎?
(2)在傾斜的過程中,水的形狀也不斷變化,可以是棱柱,也可能變?yōu)槔馀_或棱錐,對嗎?
(3)如果傾斜時,不是繞著底部的一條棱,而是繞著其底面的一個頂點,上面的第(1)問和第(2)問對不對?
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【題目】已知動點P與兩個定點O(0,0),A(3,0)的距離的比值為2,點P的軌跡為曲線C.
(1)求曲線C的軌跡方程
(2)過點(﹣1,0)作直線與曲線C交于A,B兩點,設點M坐標為(4,0),求△ABM面積的最大值.
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【題目】已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,過F且斜率為的直線l與拋物線C交于A,B兩點,B在x軸的上方,且點B的橫坐標為4.
(1)求拋物線C的標準方程;
(2)設點P為拋物線C上異于A,B的點,直線PA與PB分別交拋物線C的準線于E,G兩點,x軸與準線的交點為H,求證:HGHE為定值,并求出定值.
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【題目】在正四面體ABCD中,點E,F分別是AB,BC的中點,則下列命題正確的序號是______
①異面直線AB與CD所成角為90°;
②直線AB與平面BCD所成角為60°;
③直線EF∥平面ACD
④平面AFD⊥平面BCD.
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