【題目】已知關于x的方程x2﹣2alnx﹣2ax=0有唯一解,則實數(shù)a的值為(
A.1
B.
C.
D.

【答案】B
【解析】解:由選項知a>0,
設g(x)=x2﹣2alnx﹣2ax,(x>0),
若方程x2﹣2alnx﹣2ax=0有唯一解,
即g(x)=0有唯一解,
則g′(x)=2x﹣ ﹣2a=
令g′(x)=0,可得x2﹣ax﹣a=0,
∵a>0,x>0,∴x1= (另一根舍去),
當x∈(0,x1)時,g′(x)<0,g(x)在(0,x1)上是單調(diào)遞減函數(shù);
當x∈(x1 , +∞)時,g′(x)>0,g(x)在(x1 , +∞)上是單調(diào)遞增函數(shù),
∴當x=x2時,g′(x1)=0,g(x)min=g(x1),
∵g(x)=0有唯一解,
∴g(x1)=0,
,

∴2alnx1+ax1﹣a=0
∵a>0,
∴2lnx1+x1﹣1=0,
設函數(shù)h(x)=2lnx+x﹣1,
∵x>0時,h(x)是增函數(shù),
∴h(x)=0至多有一解,
∵h(1)=0,
∴方程2lnx1+x1﹣1=0的解為x1=1,
即x1= =1,

∴當a>0,方程f(x)=2ax有唯一解時a的值為
故選:B.
構造函數(shù)g(x)=x2﹣2alnx﹣2ax,將方程有唯一解,轉(zhuǎn)化為g(x)=0有唯一解,即可求得a的值.

練習冊系列答案
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