岳陽市臨港新區(qū)自2009年6月8日開港來,吸引了一批投資過億元的現(xiàn)代工業(yè)和物流儲運企業(yè)落戶.根據(jù)規(guī)劃,2025年新港將全部建成13個泊位,從2014年(第一年)開始對其中某個子港口今后10年的發(fā)展規(guī)劃,有如下兩種方案:
方案甲:按現(xiàn)狀進行運營.據(jù)測算,每年可收入800萬元,但由于港口淤積日益嚴(yán)重,從明年開始需投資進行清淤,第一年投資50萬元,以后逐年遞增20萬元.
方案乙:從2014年起開始投資4000萬元進港口改造,以徹底根治港口淤積并提高吞吐能力.港口改造需用時4年,在此期間邊改造邊運營.據(jù)測算,開始改造后港口第一年的收入為400萬元,在以后的4年中,每年收入都比上一年增長50%,而后各年的收入都穩(wěn)定在第5年的水平上.
(Ⅰ)至少經(jīng)過多少年,方案乙能收回投資(累計總收益為正數(shù))?
(Ⅱ)到哪一年,方案乙的累計總收益超過方案甲?(收益=收入-投資)
考點:函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用
專題:應(yīng)用題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
分析:(I)設(shè)從明年開始經(jīng)過第n年,方案乙的累計總收益為正數(shù).在方案乙中,前4年的總收入為
400×(1-1.54)
1-1.5
=3250<4000,故n必定不小于5,則由3250+4000×1.54(n-4)>4000,能求出n的最小值.
(II)設(shè)從明年開始經(jīng)過n年方案甲與方案乙的累計總收益分別為y1,y2萬元,則y1=800-[50n+
1
2
n(n-1)×20
]=-10n2+760n,當(dāng)n≤4時,則y1>0,y2<0,可得y1>y2;當(dāng)n≥5時,y2=3250+400×1.54(n-4)-4000=2025n-8850,由此可得n的最小值.
解答: 解:(I)設(shè)從2014年開始經(jīng)過n年,方案乙的累計總收益為正數(shù).
在方案乙中,前4年的總收入為
400×(1-1.54)
1-1.5
=3250<4000,
故n必定不小于4,則由3250+4000×1.54(n-4)>4000,解得n>4
30
81
,故n的最小值為5.
答:從2014開始至少經(jīng)過5年,方案乙能收回投資.
(II)設(shè)從2014年開始經(jīng)過n年方案甲與方案乙的累計總收益分別為y1,y2萬元,則
y1=800-[50n+
1
2
n(n-1)×20
]=-10n2+760n
當(dāng)n≤4時,則y1>0,y2<0,可得y1>y2
當(dāng)n≥5時,y2=3250+400×1.54(n-4)-4000=2025n-8850
令y1<y2,可得2025n-8850>-10n2+760n,即n(2n+253)>1770  
由7(14+253)>1770,6(12+253)<1770,可得n的最小值為7.
答:到2020年,方案乙的累計總收益超過方案甲.
點評:本題考查數(shù)列在生產(chǎn)實際中的應(yīng)用,考查運算求解能力,推理論證能力;考查函數(shù)與方程思想,化歸與轉(zhuǎn)化思想.綜合性強,是高考的重點,容易出錯.解題時要注意不等式性質(zhì)的靈活運用.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)f(x)是周期為4的奇函數(shù),當(dāng)0≤x≤2時,f(x)=x(2-x),則f(-5)等于( 。
A、1B、-1C、3D、-3

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知0<x<1,0<y<1,求證:
x2+y2
+
x2+(1-y)2
+
(1-x)2+y2
+
(1-x)2+(1-y)2
2
2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)
a
、
b
 是不共線的兩個非零向量,
(1)若
OA
=2
a
-
b
,
OB
=3
a
+
b
,
OC
=
a
-3
b
,求證:A、B、C三點共線;
(2)若8
a
+k
b
與k
a
+2
b
共線,求實數(shù)k的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2+(c-3a-2b)x+d的圖象如圖所示.
(1)求c,d的值;
(2)若函數(shù)f(x)在x=2處的切線方程為3x+y-11=0,求函數(shù)f(x)的解析式.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

漳州市園林局對百花村1000株樹木的生長情況進行調(diào)查,其中杉樹600株,槐樹400株.現(xiàn)用分層抽樣方法從這1000株樹木中隨機抽取100株,杉樹與槐樹的樹干周長(單位:cm)的抽查結(jié)果如表:
樹干周長(單位:cm) [30,40) [40,50) [50,60) [60,70)
杉樹 6 19 21 x
槐樹 4 20 y 6
(Ⅰ)求x,y的值及估計槐樹樹干周長的眾數(shù);
(Ⅱ)如果杉樹的樹干周長超過60cm就可以砍伐,請估計該片園林可以砍伐的杉樹有多少株?
(Ⅲ)樹干周長在30cm至40cm之間的6株杉樹中有1株患蟲害,現(xiàn)要從這6株杉株樹中任選兩株進行排查,以便找出患蟲害的樹木,求在選出的樹木中含有患蟲害的樹木的概率.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

十二屆全國人大二次會議上,李克強總理提出“以霧霾頻發(fā)的特大城市和區(qū)域為重點,以細(xì)顆粒物PM2.5和可吸入顆粒物PM10為突破口…”治理污染,“要像對貧困宣戰(zhàn)一樣,堅決向污染宣戰(zhàn)”,其中總理提到的“PM2.5”是指大氣中直徑小于或等于2.5微米的顆粒物,也稱為人肺顆粒物.根據(jù)現(xiàn)行國家標(biāo)準(zhǔn)GB3095-2012,PM2.5日均值在35微克/立方米-75微克/立方米之間空氣質(zhì)量為二級;在75微克/立方米以上空氣質(zhì)量為超標(biāo).在某市2013年全年每天的PM2.5監(jiān)測值數(shù)據(jù)中隨機地抽取10天的數(shù)據(jù)作為樣本,監(jiān)測值頻數(shù)如表所示:
PM2.5日均值(微克/立方米) [25,35] [35,45] (45,55] (55,65] (65,75] (75,85]
頻數(shù) 3 1 1 1 1 3
(1)從這10天的PM2.5日均值監(jiān)測數(shù)據(jù)中,隨機抽取3天,求恰有1天空氣質(zhì)量達(dá)到一級的概率;
(2)從這10天的數(shù)據(jù)中任取3天數(shù)據(jù),用X表示抽到PM2.5監(jiān)測數(shù)據(jù)超標(biāo)的天數(shù),求X的分布列;
(3)以這10天的PM2.5日均值來估計一年的空氣質(zhì)量狀況,則一年(按366天算)中平均有多少天的空氣質(zhì)量達(dá)到一級或二級.(精確到整數(shù))

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖是某簡諧運動的一段圖象,其函數(shù)模型是f(x)=Asin(ωx+φ)(x≥0),其中A>0,ω>0,-
π
2
<φ<
π
2

(Ⅰ)根據(jù)圖象求函數(shù)y=f(x)的解析式;
(Ⅱ)將y=f(x)圖象上所有的點向左平移
π
6
個單位長度,得到函數(shù)y=g(x)的圖象,若實數(shù)α滿足0<α<π,
π
α
g(x)dx=3,求α的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知拋物線y=ax2+bx-5在點(2,1)處的切線方程為y=-3x+7,則a=
 
,b=
 

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同步練習(xí)冊答案