【題目】已知函數(shù)，且函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線斜率為．

（1）求的值，并求函數(shù)的最值；

（2）當(dāng)時(shí)，求證：.

【答案】(1)答案見解析；(2)證明見解析.

【解析】試題分析：（1）由，可求得b=1,代入函數(shù)得，所以分0和0討論單調(diào)性，再求得函數(shù)最值。（2）構(gòu)造函數(shù)，只需證 在R上恒成立，顯然時(shí)，符合，當(dāng)時(shí)，，導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)，由單調(diào)可知下證 ，在區(qū)間上恒成立。

試題解析：（1）由題得，，

根據(jù)題意，得，∴，

∴．

當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，沒有最值；

當(dāng)時(shí)，令，得，令，得，

∴在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，

∴在處取得唯一的極大值，即為最大值，且．

綜上所述，當(dāng)時(shí)，沒有最值；

當(dāng)時(shí)，的最大值為，無(wú)最小值．

（2）要證，即證，

令，

當(dāng)時(shí)，，∴成立；

當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，

∴在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，

∴．

∵，

∴，，

∴，即成立，

故原不等式成立．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】為了了解學(xué)生參加體育活動(dòng)的情況，學(xué)校對(duì)學(xué)生進(jìn)行隨機(jī)抽樣調(diào)查，其中一個(gè)問(wèn)題是“你平均每天參加體育活動(dòng)的時(shí)間是多少？”，共有4個(gè)選項(xiàng)：A，1.5小時(shí)以上，B，1-1.5小時(shí)，C，0.5-1小時(shí)，D，0.5小時(shí)以下．圖（1），（2）是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖，請(qǐng)你根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖提供的信息，解答以下問(wèn)題：

（1）本次一共調(diào)查了多少名學(xué)生．

（2）在圖（1）中將對(duì)應(yīng)的部分補(bǔ)充完整．

（3）若該校有3000名學(xué)生，你估計(jì)全校有多少名學(xué)生平均每天參加體育活動(dòng)的時(shí)間在0.5小時(shí)以下？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知一圓的圓心在直線上，且該圓經(jīng)過(guò)和兩點(diǎn).

（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若斜率為的直線與圓相交于，兩點(diǎn)，試求面積的最大值和此時(shí)直線的方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】質(zhì)檢部門對(duì)某工廠甲、乙兩個(gè)車間生產(chǎn)的個(gè)零件質(zhì)量進(jìn)行檢測(cè)．甲、乙兩個(gè)車間的零件質(zhì)量（單位：克）分布的莖葉圖如圖所示．零件質(zhì)量不超過(guò)克的為合格．

（1）質(zhì)檢部門從甲車間個(gè)零件中隨機(jī)抽取件進(jìn)行檢測(cè)，若至少件合格，檢測(cè)即可通過(guò)，若至少件合格，檢測(cè)即為良好，求甲車間在這次檢測(cè)通過(guò)的條件下，獲得檢測(cè)良好的概率；

（2）若從甲、乙兩車間個(gè)零件中隨機(jī)抽取個(gè)零件，用表示乙車間的零件個(gè)數(shù)，求的分布列與數(shù)學(xué)期望．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】為了弘揚(yáng)民族文化，某中學(xué)舉行了“我愛國(guó)學(xué)，傳誦經(jīng)典”考試，并從中隨機(jī)抽取了60名學(xué)生的成績(jī)（滿分100分）作為樣本，其中成績(jī)不低于80分的學(xué)生被評(píng)為優(yōu)秀生，得到成績(jī)分布的頻率分布直方圖如圖所示．

（1）若該所中學(xué)共有2000名學(xué)生，試?yán)脴颖竟烙?jì)全校這次考試中優(yōu)秀生人數(shù)；

（2）（i）試估計(jì)這次參加考試的學(xué)生的平均成績(jī)（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；

（ii）若在樣本中，利用分層抽樣的方法從成績(jī)不低于70分的學(xué)生中隨機(jī)抽取6人，再?gòu)闹谐槿?人贈(zèng)送一套國(guó)學(xué)經(jīng)典學(xué)籍，試求恰好抽中2名優(yōu)秀生的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】隨著移動(dòng)互聯(lián)網(wǎng)的快速發(fā)展，基于互聯(lián)網(wǎng)的共享單車應(yīng)運(yùn)而生.某市場(chǎng)研究人員為了了解共享單車運(yùn)營(yíng)公司的經(jīng)營(yíng)狀況，對(duì)該公司最近六個(gè)月內(nèi)的市場(chǎng)占有率進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，并繪制了相應(yīng)的折線圖.

(Ⅰ)由折線圖得，可用線性回歸模型擬合月度市場(chǎng)占有率與月份代碼之間的關(guān)系.求關(guān)于的線性回歸方程，并預(yù)測(cè)公司2017年5月份（即時(shí)）的市場(chǎng)占有率；

(Ⅱ)為進(jìn)一步擴(kuò)大市場(chǎng)，公司擬再采購(gòu)一批單車.現(xiàn)有采購(gòu)成本分別為1000元/輛和1200元/輛的兩款車型可供選擇，按規(guī)定每輛單車最多使用4年，但由于多種原因（如騎行頻率等）會(huì)導(dǎo)致車輛報(bào)廢年限各不形同，考慮到公司運(yùn)營(yíng)的經(jīng)濟(jì)效益，該公司決定先對(duì)兩款車型的單車各100輛進(jìn)行科學(xué)模擬測(cè)試，得到兩款單車使用壽命頻數(shù)表見上表.

經(jīng)測(cè)算，平均每輛單車每年可以帶來(lái)收入500元，不考慮除采購(gòu)成本之外的其他成本，假設(shè)每輛單車的使用壽命都是整年，且以頻率作為每輛單車使用壽命的概率，如果你是公司的負(fù)責(zé)人，以每輛單車產(chǎn)生利潤(rùn)的期望值為決策依據(jù)，你會(huì)選擇采購(gòu)哪款車型？

（參考公式：回歸直線方程為，其中）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在直角坐標(biāo)系中，橢圓的方程為(為參數(shù))；以原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓的極坐標(biāo)方程為．

（1）求橢圓的極坐標(biāo)方程，及圓的直角坐標(biāo)方程；

（2）若動(dòng)點(diǎn)在橢圓上，動(dòng)點(diǎn)在圓上，求的最大值；

（3）若射線分別與橢圓交于點(diǎn)，求證：為定值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知點(diǎn)，圓.

（1）若直線過(guò)點(diǎn)且到圓心的距離為，求直線的方程；

（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與圓交于、兩點(diǎn)（的斜率為負(fù)），當(dāng)時(shí)，求以線段為直徑的圓的方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)z1是虛數(shù)，z2＝z1是實(shí)數(shù)，且﹣1≤z2≤1．

（1）求|z1|的值以及z1的實(shí)部的取值范圍；

（2）若ω，求證ω為純虛數(shù)；

（3）求z2﹣ω2的最小值．

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