Question

【題目】已知點(diǎn)，圓.

（1）若直線過點(diǎn)且到圓心的距離為，求直線的方程；

（2）設(shè)過點(diǎn)的直線與圓交于、兩點(diǎn)（的斜率為負(fù)），當(dāng)時(shí)，求以線段為直徑的圓的方程.

Answer 1

【答案】（1）直線的方程為或；（2）.

【解析】

（1）根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式解得；

（2）先通過點(diǎn)到直線的距離及勾股定理可解得直線的斜率，設(shè)點(diǎn)，聯(lián)立直線與圓的方程，消元列出韋達(dá)定理，可得的中點(diǎn)坐標(biāo)即圓心坐標(biāo)，從而得到圓的方程；

解：（1）由題意知，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心，半徑，

①當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，即，

則圓心到直線的距離為，.

直線的方程為；

②當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，

此時(shí)圓心到直線的距離為2，符合題意.

綜上所述，直線的方程為或；

（2）依題意可設(shè)直線的方程為，即，

則圓心到直線的距離，

，解得或，

又，，直線的方程為即，

設(shè)點(diǎn)，聯(lián)立直線與圓的方程得，

消去得，，

則線段的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，把代入直線中得，

所以，線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，

由題意知，所求圓的半徑為：，

以線段為直徑的圓的方程為：.