Question

巳知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c和g（x）=ax²+bx+c•lnx（abc≠0）．
（Ⅰ）證明：當a＜0時，無論b為何值，函數(shù)g（x）在定義域內不可能總為增函數(shù)；
（Ⅱ）在同一函數(shù)圖象上取任意兩個不同的點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），線段AB的中點C（x₀，y₀），記直線AB的斜率為k若f（x）滿足k=f′（x₀），則稱其為“K函數(shù)”．判斷函數(shù)f（x）=ax²+bx+c與g（x）=ax²+bx+c•lnx是否為“K函數(shù)”？并證明你的結論．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性

專題：計算題,導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）g′（x）=2ax+b+

c

x

=

2ax2+bx+c

x

＞0，則g（x）在定義域內總為增函數(shù)可化為2ax²+bx+c＞0對任意x∈（0，+∞）恒成立；結合二次函數(shù)的圖象知不可能；
（Ⅱ）函數(shù)f（x）=ax²+bx+c是“K函數(shù)”，g（x）=ax²+bx+c•lnx不是“K函數(shù)”，由斜率公式求斜率，從而根據定義判斷．

解答： 解：（Ⅰ）證明：如果g（x）是定義域（0，+∞）上的增函數(shù)，
則有g′（x）=2ax+b+

c

x

=

2ax2+bx+c

x

＞0；
從而有2ax²+bx+c＞0對任意x∈（0，+∞）恒成立；
又∵a＜0，則結合二次函數(shù)的圖象可得，2ax²+bx+c＞0對任意x∈（0，+∞）恒成立不可能，
故當a＜0時，無論b為何值，函數(shù)g（x）在定義域內不可能總為增函數(shù)；
（Ⅱ）函數(shù)f（x）=ax²+bx+c是“K函數(shù)”，g（x）=ax²+bx+c•lnx不是“K函數(shù)”，
事實上，對于二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c，
k=

f(x1)-f(x2)

x1-x2

=a（x₁+x₂）+b=2ax₀+b；
又f′（x₀）=2ax₀+b，
故k=f′（x₀）；
故函數(shù)f（x）=ax²+bx+c是“K函數(shù)”；
對于函數(shù)g（x）=ax²+bx+c•lnx，
不妨設0＜x₁＜x₂，則k=

g(x1)-g(x2)

x1-x2

=2ax₀+b+

cln x1 x2

x1-x2

；
而g′（x₀）=2ax₀+b+

c

x0

；
故

cln x1 x2

x1-x2

=

c

x0

，化簡可得，

ln x1 x2

x1-x2

=

2

x1+x2

；
設t=

x1

x2

，則0＜t＜1，lnt=

2(t-1)

1+t

；
設s（t）=lnt-

2(t-1)

1+t

；則s′（t）=

(t-1)2

t(1+t)2

＞0；
則s（t）=lnt-

2(t-1)

1+t

是（0，1）上的增函數(shù)，
故s（t）＜s（1）=0；
則lnt≠

2(t-1)

1+t

；
故g（x）=ax²+bx+c•lnx不是“K函數(shù)”．

點評：本題考查了導數(shù)的綜合應用及學生對新定義的接受能力，屬于中檔題．