Question

已知f（x）是定義在[a，b]上的函數(shù)，其圖象是一條連續(xù)的曲線，且滿足下列條件：
①f（x）的值域?yàn)镸，且M⊆[a，b]；
②對任意不相等的x，y∈[a，b]，都有|f（x）-f（y）|＜|x-y|．
那么，關(guān)于x的方程f（x）=x在區(qū)間[a，b]上根的情況是（　�。�

• A、沒有實(shí)數(shù)根
• B、有且僅有一個實(shí)數(shù)根
• C、恰有兩個不等的實(shí)數(shù)根
• D、實(shí)數(shù)根的個數(shù)無法確定

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由題意設(shè)g（x）=f（x）-x，已知區(qū)間[a，b]判斷兩個端點(diǎn)與0的關(guān)系，根據(jù)根的存在定理進(jìn)行求解．

解答： 解：設(shè)g（x）=f（x）-x．
∵f（x）的值域M滿足M⊆[a，b]；
∴g（a）=f（a）-a≥0，
g（b）=f（b）-b≤0，
所以g（x）=0在[a，b]有實(shí)數(shù)根，
若有兩個不同的實(shí)數(shù)根x，y，
則f（x）=x，f（y）=y，得f（x）-f（y）=x-y，
這與已知條件|f（x）-f（y）|＜|x-y|相矛盾．
故選B．

點(diǎn)評：此題考查根的存在性及根的個數(shù)判斷，比較簡單是一道基礎(chǔ)題．