設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=2，an+1=an+
1
an
（n=1，2，…）．
（1）求a2，a3，a4的值；
（2）比較an與
2n+1
的大小，并證明你的結(jié)論．
考點(diǎn)：數(shù)列遞推式
專(zhuān)題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法
分析：（1）直接由數(shù)列遞推式結(jié)合數(shù)列的首項(xiàng)求得a2，a3，a4的值；
（2）利用數(shù)學(xué)歸納法證明．
解答： 解：（1）由a1=2，an+1=an+
1
an
，得a2=a1+
1
a1
=2+
1
2
=
5
2
，
a3=a2+
1
a2
=
5
2
+
2
5
=
29
10
，a4=a3+
1
a3
=
29
10
+
10
29
=
941
290
；
（2）an＞
2n+1
．
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
當(dāng)n=1時(shí)，a1=2，
2×1+1
=
3
，不等式成立；
假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)不等式成立，即ak＞
2k+1
，
那么，當(dāng)n=k+1時(shí)，由ak+1=ak+
1
ak
，得
(ak+1)2=ak2+
1
ak2
+2＞2k+3+
1
ak2
=2(k+1)+1，
即ak+1＞
2(k+1)+1
．
∴n=k+1時(shí)不等式成立．
綜上所述，不等式an＞
2n+1
成立．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)列遞推式，考查了利用數(shù)學(xué)歸納法證明與自然數(shù)有關(guān)的命題，是中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

直線l：（m+2）x+（m-1）y-2m-1=0與橢圓
x2
2
+
y2
3
=1的位置關(guān)系為（　�。�
A、相交B、相切
C、相離D、與m值有關(guān)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知雙曲線x2-
y2
3
=1的左頂點(diǎn)為A1，右焦點(diǎn)為F2，P為雙曲線右支上一點(diǎn)，則
PA1
•
PF2
最小值為（　�。�
A、-2
B、-
81
16
C、1
D、0

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，離心率e=
3
，焦距為2
3
．
（1）求該雙曲線方程．
（2）是否定存在過(guò)點(diǎn)P（1，1）的直線l與該雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)P是線段AB的中點(diǎn)？若存在，請(qǐng)求出直線l的方程，若不存在，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)f（x）=
x2(x≥-1)
-
1
x
(x＜-1)
，已知方程f2（x）+af（x）+b=0恰好有三個(gè)互異的實(shí)數(shù)根，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知定義在R上的函數(shù)f（x）=
1
3
x3+
1
2
（a-4）x2+2（2-a）x+a的圖象與y軸的交點(diǎn)和原點(diǎn)的距離小于或等于1．
（1）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）是否存在這樣的區(qū)間，對(duì)任意的a的可能取值，函數(shù)f（x）在該區(qū)間上都是單調(diào)遞增的？若存在，則求出這樣的區(qū)間，若不存在，則說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)點(diǎn)P（x，y），定義[OP]=|x|+|y|，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)．對(duì)于下列結(jié)論：
（1）符合[OP]=1的點(diǎn)P的軌跡圍成的圖形的面積為2；
（2）設(shè)點(diǎn)P是直線：
5
x+2y-2=0上任意一點(diǎn)，則[OP]min=
2
5
5
；
（3）設(shè)點(diǎn)P是直線：y=kx+1（k∈R）上任意一點(diǎn)，則“使得[OP]最小的點(diǎn)P有無(wú)數(shù)個(gè)”的充要條件是“k=±1”；
（4）設(shè)點(diǎn)P是橢圓
x2
4
+y2=1上任意一點(diǎn)，則[OP]max=5．
其中正確的結(jié)論序號(hào)為（　�。�
A、（1）、（2）、（3）
B、（1）、（3）、（4）
C、（2）、（3）、（4）
D、（1）、（2）、（4）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

巳知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c和g（x）=ax2+bx+c•lnx（abc≠0）．
（Ⅰ）證明：當(dāng)a＜0時(shí)，無(wú)論b為何值，函數(shù)g（x）在定義域內(nèi)不可能總為增函數(shù)；
（Ⅱ）在同一函數(shù)圖象上取任意兩個(gè)不同的點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），線段AB的中點(diǎn)C（x0，y0），記直線AB的斜率為k若f（x）滿足k=f′（x0），則稱(chēng)其為“K函數(shù)”．判斷函數(shù)f（x）=ax2+bx+c與g（x）=ax2+bx+c•lnx是否為“K函數(shù)”？并證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為F（0，-2
2
），對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線方程為y=-
9
2
4
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）是否存在直線l，使l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M，N，且使線段MN恰好被直線x=-
1
2
平分？若存在，求l的傾斜角θ的取值范圍，若不存在，說(shuō)明理由．

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