6．求證：x∈R時，|x-1|≤4|x3-1|．

分析 |x-1|≤4|x3-1||x-1|≤4|（x-1）（x2+x+1）||x-1|≤4|x-1||（x2+x+1）|，分類討論，即可證明結(jié)論．

解答 證明：|x-1|≤4|x3-1||x-1|≤4|（x-1）（x2+x+1）||x-1|≤4|x-1||（x2+x+1）|
x=1時，左式=右式=0，符合題意；
x≠1時，x2+x+1=（x+$\frac{1}{2}$）2+$\frac{3}{4}$＞$\frac{1}{4}$，所以4|x-1||（x2+x+1）|＞|x-1|；
綜上，x∈R時，|x-1|≤4|x3-1|．

點評 本題考查不等式的證明，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

5．求函數(shù)f（x）=$\sqrt{21+4x-{x}^{2}}-\frac{lo{g}_{5}（1-x）}{x+1}$的定義域．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

17．已知函數(shù)$f（x）=\sqrt{3}sinωx+2{cos^2}\frac{ωx}{2}-1（ω＞0）$的最小正周期為π．對于函數(shù)f（x），下列說法正確的是（　�。�
A．在$[\frac{π}{6}，\frac{2π}{3}]$上是增函數(shù)
B．圖象關(guān)于直線$x=\frac{5π}{12}$對稱
C．圖象關(guān)于點$（-\frac{π}{3}，0）$對稱
D．把函數(shù)f（x）的圖象沿x軸向左平移$\frac{π}{6}$個單位，所得函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

14．設(shè)x∈R，則“|x-2|＜1”是“x2+x-2＞0”的充分不必要條件．（填充分不必要、必要不充分、充要條件、既不充分也不必要）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

1．已知a＞0且a≠1，證明：am+n+1＞am+an（m，n∈N+）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

11．設(shè)F為雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點，P是雙曲線上的點，若它的漸近線上存在一點Q（第一象限內(nèi)），使得$\overrightarrow{FP}$=3$\overrightarrow{PQ}$，則雙曲線離心率的取值范圍為（1，4]．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

18．設(shè)x1，x2為函數(shù)f（x）=ax2+（b-1）x+1（a，b∈R，a＞0）兩個不同零點．
（1）若x1=1，且對任意x∈R，都有f（2-x）=f（2+x），求f（x）；
（2）若b=2a-3，則關(guān)于x的方程f（x）=|2x-a|+2是否存在負(fù)實根？若存在，求出該負(fù)根的取值范圍，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

15．已知向量$\vec a$，$\vec b$滿足$|{\vec a}|=2\sqrt{2}|{\vec b}|≠0$，且關(guān)于x的函數(shù)$f（x）=2{x^3}+3|{\vec a}|{x^2}+6\vec a•\vec bx+7$在實數(shù)集R上單調(diào)遞增，則向量$\vec a$，$\vec b$的夾角的取值范圍是（　　）
A．$[{0，\left.{\frac{π}{6}}]}\right.$B．$[{0，\left.{\frac{π}{3}}]}\right.$C．$[{0，\left.{\frac{π}{4}}]}\right.$D．$[{\frac{π}{6}，\left.{\frac{π}{4}}]}\right.$

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

16．已知等比數(shù)列{an}的公比q＞0，且a1=1，4a3=a2a4．
（Ⅰ）求公比q和a3的值；
（Ⅱ）若{an}的前n項和為Sn，求證$\frac{{S}_{n}}{{a}_{n}}$＜2．

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