Question

18．設(shè)x₁，x₂為函數(shù)f（x）=ax²+（b-1）x+1（a，b∈R，a＞0）兩個不同零點．
（1）若x₁=1，且對任意x∈R，都有f（2-x）=f（2+x），求f（x）；
（2）若b=2a-3，則關(guān)于x的方程f（x）=|2x-a|+2是否存在負實根？若存在，求出該負根的取值范圍，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意可得函數(shù)f（x）=ax²+（b-1）x+1（a，b∈R，a＞0）兩個不同零點分別為x₁=1，x₂=3，從而解得；
（2）由題意只需討論$x≤\frac{a}{2}$即可，從而化簡可得ax²+（2a-2）x-a-1=0，從而可知${x_0}=\frac{{-（2a-2）-\sqrt{{{（2a-2）}^2}+4a（a+1）}}}{2a}=-[{（1-\frac{1}{a}）+\sqrt{\frac{1}{a^2}-\frac{1}{a}+2}}]$，從而解得．

解答 解：（1）∵f（2-x）=f（2+x），
∴函數(shù)f（x）關(guān)于x=2對稱，
∵x₁=1，∴x₂=3，
故1+3=-$\frac{b-1}{a}$，1•3=$\frac{1}{a}$，
解得：$a=\frac{1}{3}，b=-\frac{1}{3}$，
故$f（x）=\frac{1}{3}{x^2}-\frac{4}{3}x+1$；
（2）∵a＞0，∴只需討論$x≤\frac{a}{2}$即可，當$x≤\frac{a}{2}$時，
∵f（x）=|2x-a|+2，
∴ax²+（2a-4）x+1=a-2x+2，
即ax²+（2a-2）x-a-1=0，
∵$△={（2a-2）^2}+4a（a+1）=8{a^2}-4a+4＞0\;\;\;\;\;\;且\frac{-a-1}{a}＜0$，
∴關(guān)于x的方程f（x）=|2x-a|+2存在唯一負實根x₀，
${x_0}=\frac{{-（2a-2）-\sqrt{{{（2a-2）}^2}+4a（a+1）}}}{2a}=-[{（1-\frac{1}{a}）+\sqrt{\frac{1}{a^2}-\frac{1}{a}+2}}]$，
令$t=\frac{1}{a}-\frac{1}{2}\;\;\;\;則t＞-\frac{1}{2}$，
${x_0}=-[{\frac{1}{2}-t+\sqrt{{t^2}+\frac{7}{4}}}]=-[{\frac{1}{2}+\frac{{\frac{7}{4}}}{{t+\sqrt{{t^2}+\frac{7}{4}}}}}]$在$（{-\frac{1}{2}，+∞}）$上單調(diào)遞增，
則${x_0}∈（{-1-\sqrt{2}，-\frac{1}{2}}）$．

點評 本題考查了函數(shù)的零點的判斷與應(yīng)用，同時考查了分類討論的應(yīng)用．