Question

15．已知向量$\vec a$，$\vec b$滿足$|{\vec a}|=2\sqrt{2}|{\vec b}|≠0$，且關(guān)于x的函數(shù)$f（x）=2{x^3}+3|{\vec a}|{x^2}+6\vec a•\vec bx+7$在實(shí)數(shù)集R上單調(diào)遞增，則向量$\vec a$，$\vec b$的夾角的取值范圍是（　　）

• A． $[{0，\left.{\frac{π}{6}}]}\right.$
• B． $[{0，\left.{\frac{π}{3}}]}\right.$
• C． $[{0，\left.{\frac{π}{4}}]}\right.$
• D． $[{\frac{π}{6}，\left.{\frac{π}{4}}]}\right.$

Answer 1

分析 求導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)f（x）=2x³+3|a|x²+6a•bx+7在實(shí)數(shù)集R上單調(diào)遞增，可得判別式小于等于0在R上恒成立，再利用$|{\vec a}|=2\sqrt{2}|{\vec b}|≠0$，利用向量的數(shù)量積，即可得到結(jié)論．

解答 解：求導(dǎo)數(shù)可得f′（x）=6x²+6|$\overrightarrow{a}$|x+6$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$，則由函數(shù)f（x）=2x³+3|a|x²+6a•bx+7在實(shí)數(shù)集R上單調(diào)遞增，
可得f′（x）=6x²+6|$\overrightarrow{a}$|x+6$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$≥0恒成立，即 x²+|$\overrightarrow{a}$|x+$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$≥0恒成立，
故判別式△=$\overrightarrow{a}$²-4$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$≤0 恒成立，
再由$|{\vec a}|=2\sqrt{2}|{\vec b}|≠0$，可得8|$\overrightarrow$|²≤8$\sqrt{2}$|$\overrightarrow$|²cos＜$\vec a$，$\vec b$＞，
∴cos＜$\vec a$，$\vec b$＞≥$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴＜$\vec a$，$\vec b$＞∈[0，$\frac{π}{4}$]，
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查向量的數(shù)量積，解題的關(guān)鍵是利用判別式小于等于0在R上恒成立，屬于中檔題．