Question

17．已知函數(shù)$f（x）=\sqrt{3}sinωx+2{cos^2}\frac{ωx}{2}-1（ω＞0）$的最小正周期為π．對(duì)于函數(shù)f（x），下列說法正確的是（　�。�

• A． 在$[\frac{π}{6}，\frac{2π}{3}]$上是增函數(shù)
• B． 圖象關(guān)于直線$x=\frac{5π}{12}$對(duì)稱
• C． 圖象關(guān)于點(diǎn)$（-\frac{π}{3}，0）$對(duì)稱
• D． 把函數(shù)f（x）的圖象沿x軸向左平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位，所得函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱

Answer 1

分析 利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡(jiǎn)函數(shù)解析式可得f（x）=2sin（$ωx+\frac{π}{6}$），由周期公式可求ω，從而可求函數(shù)解析式為f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）．利用正弦函數(shù)的平移變換規(guī)律即可得解D選項(xiàng)正確．

解答 解：∵$f（x）=\sqrt{3}sinωx+2{cos^2}\frac{ωx}{2}-1（ω＞0）$
=$\sqrt{3}$sinωx+cosωx
=2sin（$ωx+\frac{π}{6}$），
又∵最小正周期為π，即$π=\frac{2π}{ω}$，解得：ω=2，
∴f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
∴把函數(shù)f（x）的圖象沿x軸向左平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位，所得函數(shù)解析式為：y=2sin[2（x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{6}$]=2sin（2x+$\frac{π}{2}$）=2cos2x．
由余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得此函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱．D正確．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查了正弦函數(shù)的平移變換規(guī)律，屬于基本知識(shí)的考查．