Question

11．設F為雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點，P是雙曲線上的點，若它的漸近線上存在一點Q（第一象限內(nèi)），使得$\overrightarrow{FP}$=3$\overrightarrow{PQ}$，則雙曲線離心率的取值范圍為（1，4]．

Answer 1

分析 設出雙曲線的右焦點，一條漸近線，以及右頂點，求出FP的最小值，即有3a不大于c-a，再由離心率公式計算即可得到．

解答 解：設雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的右焦點F（c，0），
一條漸近線方程為y=$\frac{a}$x，
右頂點為P′（a，0），
由|FP|≥|FP′|=c-a，
當P與P′重合，Q與O重合，則有|OP′|=a，
則3a≥c-a，即為c≤4a，
即有e=$\frac{c}{a}$≤4，
由于e＞1，則1＜e≤4．
故答案為：（1，4]．

點評 本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，考查雙曲線的點到焦點的距離的最小值，考查離心率的求法，屬于基礎題．