Question

【題目】已知以點(diǎn)C（t， ）（t∈R，t≠0）為圓心的圓過原點(diǎn)O．
（1）設(shè)直線3x+y﹣4=0與圓C交于點(diǎn)M，N，若|OM|=|ON|，求圓C的方程；
（2）在（1）的條件下，設(shè)B（0，2），且P，Q分別是直線l：x+y+2=0和圓C上的動(dòng)點(diǎn)，求|PQ|﹣|PB|的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵OM=ON，所以，則原點(diǎn)O在MN的中垂線上．

設(shè)MN的中點(diǎn)為H，則CH⊥MN，

∴C、H、O三點(diǎn)共線，

∵直線MN的方程是3x+y﹣4=0，

∴直線OC的斜率 = = ，解得t=3或t=﹣3，

∴圓心為C（3，1）或C（﹣3，﹣1）

∴圓C的方程為（x﹣3）2+（y﹣1）2=10或（x+3）2+（y+1）2=10

由于當(dāng)圓方程為（x+3）2+（y+1）2=10時(shí)，圓心到直線3x+y﹣4=0的距離d＞r，

此時(shí)不滿足直線與圓相交，故舍去，

∴圓C的方程為（x﹣3）2+（y﹣1）2=10

（2）解：在三角形PBQ中，兩邊之差小于第三邊，故|PQ|﹣|PB|≤|BQ|

又B，C，Q三點(diǎn)共線時(shí)|BQ|最大

所以，|PQ|﹣|PB|的最大值為 ，

∵B（0，2），C（3，1），∴直線BC的方程為 ，

∴直線BC與直線x+y+2=0的交點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣6，4）

【解析】（1）由OM=ON得原點(diǎn)O在MN的中垂線上，由圓的弦中點(diǎn)性質(zhì)和直線垂直的條件列出方程，求出t的值和C的坐標(biāo)，代入圓的標(biāo)準(zhǔn)方程化簡，再驗(yàn)證直線與圓的位置關(guān)系；（2）根據(jù)三邊關(guān)系判斷出取最大值的條件，由圓外一點(diǎn)與圓上一點(diǎn)距離最值問題求出最大值，由點(diǎn)斜式方程求出BC的直線方程，以及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．