【題目】已知實數(shù)a>0, 方程 有且僅有兩個不等實根,且較大的實根大于3,則實數(shù)a的取值范圍

【答案】
【解析】解:設比較大的根為x1 , 則x1>3, 此時由 =log3x>log33=1,
即a ,即a
∵方程 有且僅有兩個不等實根,
∴當x≤1時,方程 有且僅有1實根,
即﹣x ,在x≤1時,只有一個根.
∴x ,
設g(x)=x ,(x≤1),
函數(shù)的對稱軸為x=a,
若a≥1,
∵g(0)= ,
∴此時滿足g(1)≤0,(圖1)

即g(1)=1﹣2a+ ≤0,
∴7a2﹣32a+16≤0,
解得 ,∴此時1≤a≤4,.
若0<a<1,
∵g(0)=
∴此時滿足g(1)<0,
即g(1)=1﹣2a+ <0,
∴77a2﹣32a+16<0,
解得 ,∴此時
,
又a
,
即實數(shù)a的取值范圍是 ,
所以答案是:

【考點精析】關(guān)于本題考查的函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系和函數(shù)的零點,需要了解二次函數(shù)的零點:(1)△>0,方程 有兩不等實根,二次函數(shù)的圖象與 軸有兩個交點,二次函數(shù)有兩個零點;(2)△=0,方程 有兩相等實根(二重根),二次函數(shù)的圖象與 軸有一個交點,二次函數(shù)有一個二重零點或二階零點;(3)△<0,方程 無實根,二次函數(shù)的圖象與 軸無交點,二次函數(shù)無零點;函數(shù)的零點就是方程的實數(shù)根,亦即函數(shù)的圖象與軸交點的橫坐標.即:方程有實數(shù)根,函數(shù)的圖象與坐標軸有交點,函數(shù)有零點才能得出正確答案.

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