Question

已知函數(shù)f（x）=Acos²（ωx+φ）+1（A＞0，ω＞0，0＜φ＜

π

2

）的最大值為3，f（x）的圖象與y軸的交點坐標為（0，2），其相鄰兩條對稱軸間的距離為2，則f（1）+f（2）+…+f（2014）=

 

．

Answer 1

考點：二倍角的余弦,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：由條件利用二倍角的余弦公式可得f（x）=

A

2

cos（2ωx+2φ）+1+

A

2

，由函數(shù)的最值求出A，由周期求出ω，由特殊點的坐標求出φ的值，可得函數(shù)的解析式，再利用函數(shù)的周期性求得所求式子的值．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）=Acos²（ωx+φ）+1=A•

1+cos(2ωx+2φ)

2

+1
=

A

2

cos（2ωx+2φ）+1+

A

2

 （A＞0，ω＞0，0＜φ＜

π

2

）的最大值為3，
∴

A

2

+1+

A

2

=3，∴A=2．
根據(jù)函數(shù)圖象相鄰兩條對稱軸間的距離為2，可得函數(shù)的最小正周期為4，即

2π

2ω

=4，∴ω=

π

4

．
再根據(jù)f（x）的圖象與y軸的交點坐標為（0，2），可得 cos（2φ）+1+1=2，
∴cos2φ=0，2φ=

π

2

，∴φ=

π

4

．
故函數(shù)的解析式為 f（x）=cos（

π

2

x+

π

2

）+2=-sin

π

2

x+2，
∴f（1）+f（2）+…+f（2014）=-（sin

π

2

+sin

2π

2

+sin

3π

2

+…+sin

2014π

2

）+2×2014
=503×0+f（1）+f（2）+4028=1+4028=4029，
故答案為：4029．

點評：本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，二倍角的余弦公式，由函數(shù)的最值求出A，由周期求出ω，由特殊點的坐標求出φ的值，三角函數(shù)的周期性，屬于中檔題．