【題目】已知函數(shù),,(常數(shù)).
(I)當與的圖象相切時,求的值;
(Ⅱ)設,討論在上零點的個數(shù).
【答案】(I);(Ⅱ)當時,在上沒有零點;時,在上只有一個零點;時,在上有兩個零點.
【解析】
(I)設出切點的坐標,利用導數(shù)的幾何意義求出過點A 的斜率,寫出切線的點斜式方程,結(jié)合待定系數(shù)法,即可求出的值。
(Ⅱ)將變形得到, 當時,,沒有零點;當時,在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增.有最小值 ,對進行討論得出在上零點的個數(shù)。
(I)設切點為,,
所以過點的切線方程為,即,
所以,解得:.
(Ⅱ),設函數(shù),
在上零點的個數(shù)與在上零點的個數(shù)相同,
當時,沒有零點;
當時,,
時,;時,,
∴在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增.
故是在的最小值.
①若,即,在沒有零點;
②若,即,在只有一個零點;
③若,即,由于,所以在上有兩個零點,
綜上,時,在上沒有零點;時,在上只有一個零點;時,在上有兩個零點.
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【題目】如圖,四邊形PDCE為矩形,四邊形ABCD為梯形,平面PDCE⊥平面ABCD,∠BAD=∠ADC=90°,,,若M為PA的中點,PC與DE交于點N.
(1)求證:AC∥面MDE;
(2)求證:PE⊥MD;
(3)求點N到平面ABM的距離.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,橢圓 ()的短軸長為2,橢圓上的點到右焦點距離的最大值為.過點作斜率為的直線交橢圓于,兩點(,),是線段的中點,直線交橢圓于,兩點.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)若,,求的值;
(3)若存在直線,使得四邊形為平行四邊形,求的取值范圍.
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【題目】為評估設備生產(chǎn)某種零件的性能,從設備生產(chǎn)該零件的流水線上隨機抽取100個零件為樣本,測量其直徑后,整理得到下表:
經(jīng)計算,樣本的平均值,標準差,以頻率值作為概率的估計值.
(I)為評判一臺設備的性能,從該設備加工的零件中任意抽取一件,記其直徑為,并根據(jù)以下不等式進行判定(表示相應事件的概率):
①;
②;
③.
判定規(guī)則為:若同時滿足上述三個式子,則設備等級為甲;若僅滿足其中兩個,則等級為乙,若僅滿足其中一個,則等級為丙;若全部都不滿足,則等級為了.試判斷設備的性能等級.
(Ⅱ)將直徑尺寸在之外的零件認定為是“次品”.
①從設備的生產(chǎn)流水線上隨機抽取2個零件,求其中次品個數(shù)的數(shù)學期望;
②從樣本中隨意抽取2個零件,求其中次品個數(shù)的數(shù)學期望.
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【題目】在三棱錐P-ABC中,頂點P在底面ABC的投影G是ABC的外心,PB=BC=2,則面PBC與底面ABC所成的二面角的大小為60,則三棱錐PABC的外接球的表面積為______
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【題目】已知點P在直線l:y=x-1上,若存在過點P的直線交拋物線于A,B兩點,且|PA|=|AB|,則稱點P為“正點”,那么下列結(jié)論中正確的是( )
A.直線l上的所有點都是“正點”
B.直線l上僅有有限個點是“正點”
C.直線l上的所有點都不是“正點”
D.直線l上有無窮多個點(但不是所有的點)是“正點”
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【題目】某電視臺“挑戰(zhàn)主持人”節(jié)目的挑戰(zhàn)者闖第一關需要回答三個問題,其中前兩個問題回答正確各得分,回答不正確得分,第三個問題回答正確得分,回答不正確得分.如果一個挑戰(zhàn)者回答前兩個問題正確的概率都是,回答第三個問題正確的概率為,且各題回答正確與否相互之間沒有影響.若這位挑戰(zhàn)者回答這三個問題總分不低于分就算闖關成功.
(Ⅰ)求至少回答對一個問題的概率;
(Ⅱ)求這位挑戰(zhàn)者回答這三個問題的總得分X的分布列;
(Ⅲ)求這位挑戰(zhàn)者闖關成功的概率.
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