【題目】已知函數(shù).
(1)討論極值點的個數(shù);
(2)若有兩個極值點
,
,且
,求實數(shù)
的取值范圍.
【答案】(1)當時,
有兩個極值點;
當時,
沒有極值點.
(2)
【解析】
(1)根據(jù)的根的情況,對
的值進行討論,從而得出極值點的個數(shù);
(2)由(1)得,借助此等式將不等式中
的
進行換元,構造出新函數(shù),研究其性質(zhì),得出
的取值范圍.
(1)由,
得.
令,得
,
即,
令,則
,且
,
由得
.
當時,
,
在
單調(diào)遞增;
當時,
,
在
單調(diào)遞減.
所以,,
且當時,
;當
時,
.
所以,當,
方程有兩解,不妨設為
故當時,
,故
單調(diào)遞減,
當時,
,故
單調(diào)遞增,
當時,
,故
單調(diào)遞減,
即時,
有兩個極值點;
當,
恒成立,故
單調(diào)遞減,
即時,
沒有極值點.
(2)不妨設,
由(1)知,
,
則,
兩邊取對數(shù),所以,
所以,
即.
令,
,
則,
.
因為,
即,
所以,
即,
設,則
,
且.
易知.記
,則
,
且,
考查函數(shù),
.
①當時,
,
則,即
,
所以在
上單調(diào)遞減,
所以當時,
,
所以當時符合題意.
②當時,
,
有兩個不同零點
,
,且
,
,
不妨設,則
,
當時,
,則
,
所以在
上單調(diào)遞增,
故存在,使得
,
所以,當時,不符合題意,
綜上,的取值范圍是
.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知拋物線C:,過焦點F的直線l與拋物線C交于M,N兩點.
(1)若直線l的傾斜角為,求
的長;
(2)設M在準線上的射影為A,求證:A,O,N三點共線(O為坐標原點).
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】若函數(shù)在區(qū)間
上,
,
,
,
,
,
均可為一個三角形的三邊長,則稱函數(shù)
為“三角形函數(shù)”.已知函數(shù)
在區(qū)間
上是“三角形函數(shù)”,則實數(shù)
的取值范圍為( )
A. B.
C. D.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知A為焦距為的橢圓E:
(a>b>0)的右頂點,點P(0,
),直線PA交橢圓E于點B,
.
(1)求橢圓E的方程;
(2)設過點P且斜率為的直線
與橢圓E交于M、N兩點(M在P、N之間),若四邊形MNAB的面積是△PMB面積的5倍.求直線
的斜率
.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在直角梯形中,
,
,
,直角梯形
通過直角梯形
以直線
為軸旋轉得到,且使得平面
平面
.
為線段
的中點,
為線段
上的動點.
()求證:
.
()當點
滿足
時,求證:直線
平面
.
()當點
是線段
中點時,求直線
和平面
所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】下列說法:①越小,X與Y有關聯(lián)的可信度越小;②若兩個隨機變量的線性相關性越強,則相關系數(shù)r的值越接近于1;③“若
,則
類比推出,“若
,則
;④命題“有些有理數(shù)是無限循環(huán)小數(shù),整數(shù)是有理數(shù),所以整數(shù)是無限循環(huán)小數(shù)”是假命題,推理錯誤的原因是使用了“三段論”,推理形式錯誤.其中說法正確的有( )個
A.0B.1C.2D.3
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】下面給出了根據(jù)我國2012年~2018年水果人均占有量y(單位:kg)和年份代碼x繪制的散點圖(2012年~2018年的年份代碼x分別為1~7).
(1)根據(jù)散點圖相應數(shù)據(jù)計算得,
,求y關于x的線性回歸方程;
(2)估計我國2023年水果人均占有量是多少?(精確到1kg).
附:回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為:
,
.
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