【題目】已知函數(shù).
(1)討論極值點(diǎn)的個(gè)數(shù);
(2)若有兩個(gè)極值點(diǎn)
,
,且
,求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
【答案】(1)當(dāng)時(shí),
有兩個(gè)極值點(diǎn);
當(dāng)時(shí),
沒(méi)有極值點(diǎn).
(2)
【解析】
(1)根據(jù)的根的情況,對(duì)
的值進(jìn)行討論,從而得出極值點(diǎn)的個(gè)數(shù);
(2)由(1)得,借助此等式將不等式中
的
進(jìn)行換元,構(gòu)造出新函數(shù),研究其性質(zhì),得出
的取值范圍.
(1)由,
得.
令,得
,
即,
令,則
,且
,
由得
.
當(dāng)時(shí),
,
在
單調(diào)遞增;
當(dāng)時(shí),
,
在
單調(diào)遞減.
所以,,
且當(dāng)時(shí),
;當(dāng)
時(shí),
.
所以,當(dāng),
方程有兩解,不妨設(shè)為
故當(dāng)時(shí),
,故
單調(diào)遞減,
當(dāng)時(shí),
,故
單調(diào)遞增,
當(dāng)時(shí),
,故
單調(diào)遞減,
即時(shí),
有兩個(gè)極值點(diǎn);
當(dāng),
恒成立,故
單調(diào)遞減,
即時(shí),
沒(méi)有極值點(diǎn).
(2)不妨設(shè),
由(1)知,
,
則,
兩邊取對(duì)數(shù),所以,
所以,
即.
令,
,
則,
.
因?yàn)?/span>,
即,
所以,
即,
設(shè),則
,
且.
易知.記
,則
,
且,
考查函數(shù),
.
①當(dāng)時(shí),
,
則,即
,
所以在
上單調(diào)遞減,
所以當(dāng)時(shí),
,
所以當(dāng)時(shí)符合題意.
②當(dāng)時(shí),
,
有兩個(gè)不同零點(diǎn)
,
,且
,
,
不妨設(shè),則
,
當(dāng)時(shí),
,則
,
所以在
上單調(diào)遞增,
故存在,使得
,
所以,當(dāng)時(shí),不符合題意,
綜上,的取值范圍是
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知拋物線C:,過(guò)焦點(diǎn)F的直線l與拋物線C交于M,N兩點(diǎn).
(1)若直線l的傾斜角為,求
的長(zhǎng);
(2)設(shè)M在準(zhǔn)線上的射影為A,求證:A,O,N三點(diǎn)共線(O為坐標(biāo)原點(diǎn)).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】若函數(shù)在區(qū)間
上,
,
,
,
,
,
均可為一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng),則稱函數(shù)
為“三角形函數(shù)”.已知函數(shù)
在區(qū)間
上是“三角形函數(shù)”,則實(shí)數(shù)
的取值范圍為( )
A. B.
C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知A為焦距為的橢圓E:
(a>b>0)的右頂點(diǎn),點(diǎn)P(0,
),直線PA交橢圓E于點(diǎn)B,
.
(1)求橢圓E的方程;
(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)P且斜率為的直線
與橢圓E交于M、N兩點(diǎn)(M在P、N之間),若四邊形MNAB的面積是△PMB面積的5倍.求直線
的斜率
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在直角梯形中,
,
,
,直角梯形
通過(guò)直角梯形
以直線
為軸旋轉(zhuǎn)得到,且使得平面
平面
.
為線段
的中點(diǎn),
為線段
上的動(dòng)點(diǎn).
()求證:
.
()當(dāng)點(diǎn)
滿足
時(shí),求證:直線
平面
.
()當(dāng)點(diǎn)
是線段
中點(diǎn)時(shí),求直線
和平面
所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知四棱錐,
,
,
平面
,
,
,直線
與平面
所成角的大小為
,
是線段
的中點(diǎn).
(1)求證:平面
;
(2)求點(diǎn)到平面
的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列說(shuō)法:①越小,X與Y有關(guān)聯(lián)的可信度越小;②若兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng),則相關(guān)系數(shù)r的值越接近于1;③“若
,則
類比推出,“若
,則
;④命題“有些有理數(shù)是無(wú)限循環(huán)小數(shù),整數(shù)是有理數(shù),所以整數(shù)是無(wú)限循環(huán)小數(shù)”是假命題,推理錯(cuò)誤的原因是使用了“三段論”,推理形式錯(cuò)誤.其中說(shuō)法正確的有( )個(gè)
A.0B.1C.2D.3
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下面給出了根據(jù)我國(guó)2012年~2018年水果人均占有量y(單位:kg)和年份代碼x繪制的散點(diǎn)圖(2012年~2018年的年份代碼x分別為1~7).
(1)根據(jù)散點(diǎn)圖相應(yīng)數(shù)據(jù)計(jì)算得,
,求y關(guān)于x的線性回歸方程;
(2)估計(jì)我國(guó)2023年水果人均占有量是多少?(精確到1kg).
附:回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為:
,
.
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