Question

【題目】已知A為焦距為的橢圓E：（a＞b＞0）的右頂點(diǎn)，點(diǎn)P（0，），直線PA交橢圓E于點(diǎn)B，．

（1）求橢圓E的方程；

（2）設(shè)過點(diǎn)P且斜率為的直線與橢圓E交于M、N兩點(diǎn)（M在P、N之間），若四邊形MNAB的面積是△PMB面積的5倍．求直線的斜率．

Answer 1

【答案】（1）+=1；（2）k=±

【解析】

（1）先根據(jù)條件得B點(diǎn)坐標(biāo)，代入橢圓方程，再與焦距聯(lián)立方程組解得（2）根據(jù)面積關(guān)系得，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，利用韋達(dá)定理建立等量關(guān)系解得斜率.

（1）由題意，得焦距2c=2，∴2c=2，c=，

∵，所以點(diǎn)B為線段AP的中點(diǎn)，

因為點(diǎn)P（0，2），A（a，0），

∴B（，），

因為點(diǎn)B（，）在橢圓E上，∴+=1，

即b2=4，2=b2+c2=9，

∴橢圓E的方程為+=1．

（2）由題可得S△PAN=6S△PBM，即|PA||PN|sin∠APN=6×|PB||PM|sin∠BPM，

∴|PN|=3||，∴，設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），

于是=（x1，y1-2），=（x2，y2-2），

∴3（x1，y1-2）=（x2，y2-2），

∴x2=3 x1，即=3，于是+=，即=，①，

聯(lián)立，消去y，整理得（9k2+4）x2+36kx+72=0，

由△=（36k）2-4×（9k2+4）×72＞0，解得k2＞，

∴x1+x2=-，x1x2=，

代入①可解得k2=，滿足k2＞，∴k=±，即直線l的斜率k=±．