Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x[

1

a

+

2

a(ax-1)

]（a＞1）．
（Ⅰ）求函數(shù)的定義域A；
（Ⅱ）判斷函數(shù)的奇偶性，并給予證明；
（Ⅲ）如果對于定義域A中的任意的x，f（x）＞m恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)的定義域及其求法,函數(shù)奇偶性的判斷

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由a^x-1≠0可求函數(shù)定義域；
（Ⅱ）由奇偶性的定義可作出判斷；
（Ⅲ）對于定義域A中的任意的x，f（x）＞m恒成立，等價于f（x）_min≥m，當(dāng)x＞0時，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可判斷f（x）＞0，由偶函數(shù)性質(zhì)可知x＜0時也有f（x）＞0從而可得f（x）_min=0．

解答： 解：（Ⅰ）由a^x-1≠0，得x≠0，
∴函數(shù)f（x）的定義域為（-∞，0）∪（0，+∞），即A=（-∞，0）∪（0，+∞）；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）的定義域關(guān)于原點對稱，
又f（-x）=-x[

1

a

+

2

a(a-x-1)

]=x[-

1

a

+

2

a(1-a-x)

]=x[-

1

a

+

2ax

a(ax-1)

]=x[-

1

a

+

2ax-2+2

a(ax-1)

]=x[

1

a

+

2

a(ax-1)

]=f（x），
∴f（x）為偶函數(shù)；
（Ⅲ）當(dāng)x＞0時，∵a＞1，∴a^x-1＞0，
∴

1

a

+

2

a(ax-1)

＞0，x[

1

a

+

2

a(ax-1)

]＞0，即f（x）＞0；
當(dāng)x＜0時，由偶函數(shù)的性質(zhì)知f（-x）=f（x）＞0；
∴對于定義域A中的任意的x，f（x）≥0，
由f（x）＞m恒成立，得0＞m，
故實數(shù)m的取值范圍是（-∞，0）．

點評：本題考查函數(shù)的奇偶性的判斷、定義域的求解，考查函數(shù)恒成立問題，考查轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題．