Question

設(shè)正數(shù)列{a_n}的前{a_n}項(xiàng)和為n，且2

Sn

=an+1．
（1）求數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）設(shè)bn=

1

anan+1

，T_n是數(shù)列{b_n}的前{a_n}項(xiàng)和，求使得Tn＜

m

18

對所有n∈N^*都成立的最小正整數(shù)m．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）直接在遞推式中取n=1求得a₁；
（2）在遞推式中取n=n+1得另一遞推式，作差后得到數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列并求得公差，代入等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得答案；
（3）利用裂項(xiàng)相消法求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，放縮后得到Tn＜

1

2

，由

1

2

≤

m

18

求得使Tn＜

m

18

對所有n∈N^*都成立的最小正整數(shù)m．

解答： 解：（1）當(dāng)n=1時，由2

S1

=a1+1且S₁=a₁，解得a₁=1；
（2）由2

Sn

=an+1，得4Sn=(an+1)2…①
∴4Sn+1=(an+1+1)2…②
②-①得：4Sn+1-4Sn=(an+1+1)2-(an+1)2，
化簡，得（a_n+1+a_n）•（a_n+1-a_n-2）=0，
又由a_n＞0，得a_n+1+a_n＞0，
∴a_n+1-a_n-2=0，即a_n+1-a_n=2．
∴數(shù)列{a_n}是以1為首項(xiàng)，公差為2的等差數(shù)列，
∴a_n=a₁+（n-1）×2，
即a_n=2n-1；
（3）把a(bǔ)_n=2n-1代入bn=

1

anan+1

，得：
bn=

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
∴T_n=b₁+b₂+…b_n=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]=

1

2

(1-

1

2n+1

)＜

1

2

．
∴要使Tn＜

m

18

對所有n∈N^*都成立，只需

1

2

≤

m

18

，即m≥9．
∴滿足條件的最小正整數(shù)m=9．

點(diǎn)評：本題考查了數(shù)列遞推式，考查了等差關(guān)系的確定，訓(xùn)練了裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和，考查了利用放縮法證明不等式，是中高檔題．