Question

已知函數(shù)f（x）的定義域是（0，+∞），且當(dāng)x＞0時，滿足

f(x)

x

＞f′（x）．
（Ⅰ）判斷函數(shù)y=

f(x)

x

在（0，+∞）上的單調(diào)性，并說明理由；
（Ⅱ）三個同學(xué)對問題“已知m、n∈N^*且n＞m≥2，證明（1+m）ⁿ＞（1+n）^m”提出各自的解題思路．
甲說：“用二項式定理將不等式的左右兩邊展開，運用放縮法即可證明”
乙說：“通過轉(zhuǎn)化，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性即可證明”
參考上述解題思路，結(jié)合自己的知識，請你證明此不等式．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）中通過求導(dǎo)函數(shù)，判斷出其導(dǎo)數(shù)值為負(fù)，從而得出是單調(diào)減函數(shù)；（2）通過轉(zhuǎn)化，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性即可證明．

解答： 解：（1）∵y′=[

f(x)

x

]′=

xf′(x)-f(x)

x2

，
又∵

f(x)

x

＞f′(x)，
所以當(dāng)x＞0時，f（x）＞xf′（x）
∴

xf′(x)-f(x)

x2

＜0即：y′＜0，
因此函數(shù)y=

f(x)

x

在（0，+∞）上是單調(diào)遞減函數(shù)．
（2）∵n＞m≥2，
   設(shè)f（x）=

ln(1+x)

x

（x∈R，且x≥2），
∴f（x）=

x 1+x -ln(1+x)

x2

，
∵x≥2，
∴0＜

x

1+x

＜1，
∴l(xiāng)n（1+x）≥ln（1+2）=ln3＞1，
∴f′（x）＜0，
∴f（x）在[2，+∞）上是減函數(shù)
∵n＞m≥2，
∴

ln(1+m)

m

＞

ln(1+n)

n

∴nln（1+m）＞mln（1+n），
∴（1+m）ⁿ＞（1+n）^m．

點評：本題考察了函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，不等式的證明，是一道綜合題．