Question

已知函數(shù)f（x）=a-

2

2x+1

（1）若該函數(shù)為奇函數(shù)，求a；
（2）判斷f（x）在R上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）直接根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)，利用f（0）=0，即可求解a的值；
（2）首先，判斷該函數(shù)為R上的增函數(shù)，然后，利用單調(diào)性的定義進(jìn)行證明．

解答： 解：（1）∵函數(shù)為奇函數(shù)，
∴f（0）=0，
∴a-1=0，
∴a=1，
∴a的值為1．
（2）根據(jù)（1）得
f（x）=1-

2

2x+1

，
∴該函數(shù)為R上的增函數(shù)，證明如下：
任設(shè)x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=1-

2

2x1+1

-1+

2

2x2+1

，
=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

，
∵x₁＜x₂，
∴2x1-2x2＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴該函數(shù)為R上的增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查了函數(shù)為奇函數(shù)的概念、函數(shù)單調(diào)性的定義等知識(shí)，屬于中檔題．